Tiến hành xếp ngẫu nhiên 9 kí tự gồm: 1 kí tự D, 1 kí tự H, 1 kí tự O, 2 kí tự T, 1 kí tự 1, 1 kí tự 0, 1 kí tự 2, 1 kí tự 6 vào một lưới ô vuông kích thước \(4\)x\(4\) sao cho mỗi ô vuông được xếp tối đa một kí tự. Gọi \(p = \frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\)) là xác suất để dải kí tự may mắn cho 2K8 đậu đại học năm 2026 là “DH26” xuất hiện liền kề nhau theo đúng thứ tự từ trái qua phải trên cùng một hàng hoặc từ trên xuống dưới trên cùng một cột. Hãy tính giá trị của biểu thức \(S = b - a\)

	D
D	H	2	6
	2
	6

Nhận thấy hai đường thẳng \(SD\) và \(AB\) chéo nhau.

Gọi \(M,N,O\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;CD,AC\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel CD\\CD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {M,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ\(MH \bot SM,\left( {H \in SM} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot CD\;\left( {Do\;CD \bot \left( {SOM} \right),OH \subset \left( {SOM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\)\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{\frac{{7{a^2}}}{2}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}}\)

Khi đó $OH=\frac{a\sqrt{210}}{30}\Rightarrow d\left(AB,SD\right)=2OH=a\sqrt{\frac{14}{15}}\approx \boxed{\mathrm{0,97}}$.

Tọa độ quả bóng bay thứ nhất và thứ hai lần lượt là: \(A\left( {200;\, - 200;\,50} \right)\) và \(B\left( { - 100;\,100;\,40} \right)\)

Minh họa như sau:

Bài toán trở về khi \(MA + MB\) là nhỏ nhất thì ta cần tính \(OM\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(B\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và \(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Khi đó \(H\left( { - 100;\,100;\,0} \right)\) suy ra \(B'\left( { - 100;\,100;\, - 40} \right)\)

Ta có: \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\). Dấu bằng xảy ra khi \(M \equiv {M_0}\left( {a;\,b;\,0} \right)\)

Khi đó: \(\overrightarrow {A{M_0}}  = \left( {a - 200;\,b + 200;\, - 50} \right)\); \(\overrightarrow {AB'}  = \left( { - 300;\,300;\, - 90} \right)\)

Do \(\overrightarrow {A{M_0}} \parallel \overrightarrow {AB'} \) nên \(\frac{{a - 200}}{{ - 300}} = \frac{{b + 200}}{{300}} = \frac{5}{9} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{100}}{3}\\b =  - \frac{{100}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {M_0}\left( {\frac{{100}}{3};\, - \frac{{100}}{3};\,0} \right)\)

Vậy \(O{M_0} = \sqrt {{{\left( {\frac{{100}}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{100}}{3}} \right)}^2} + {0^2}}  \approx 47\) nên khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay này khoảng  mét.