Trong không gian xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\), gọi \(O\) là vị trí đặt trạm radar. Giả sử mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt đất phẳng, trục \(Ox\) chỉ hướng Đông, trục \(Oy\) chỉ hướng Bắc và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo trên các trục là mét). Một tên lửa được phóng lên từ điểm \(A\left( {100;200;0} \right)\) trên mặt đất tại thời điểm \(t = 0\) (giây) với tốc độ ban đầu là \(50\) m/s. Trong giai đoạn này, tên lửa chuyển động theo một đường thẳng với tốc độ tăng dần đều theo thời gian \(t\) với công thức \(v\left( t \right) = at + 50\) (m/s), trong đó \(a\) là hằng số gia tốc dương. Biết rằng sau \(10\) giây kể từ lúc phóng, tên lửa đã đi được quãng đường dài \(1500\) mét. Hướng bay của tên lửa tạo với các hướng Đông, Bắc và hướng thẳng đứng các góc lần lượt là \(60^\circ \),\(45^\circ \)và \(60^\circ \). Gọi \(\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2};{u_3}} \right)\) là vectơ đơn vị (có độ dài bằng 1) cùng hướng với hướng chuyển động của tên lửa

Xét mệnh đề a)
Tên lửa tạo với hướng Đông: \[\cos 60^\circ = \frac{{{u_1}.1}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} .\sqrt 1 }} = {u_1} = \cos 60^\circ \]
Tên lửa tạo với hướng Bắc: \[\cos 45^\circ = \frac{{{u_2}.1}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} .\sqrt 1 }} = {u_2} = \cos 45^\circ \]
Tên lửa tạo với hướng thẳng đứng:\[\cos 60^\circ = \frac{{{u_3}.1}}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} .\sqrt 1 }} = {u_3} = \cos 60^\circ \]
Vậy \(\vec u = \left( {\cos 60^\circ ;\cos 45^\circ ;\cos 60^\circ } \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
Thành phần vận tốc hướng Đông: \({v_x} = v\left( t \right).{u_1} = v\left( t \right).\frac{1}{2}\)
Thành phần vận tốc hướng Bắc: \({v_y} = v\left( t \right).{u_2} = v\left( t \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Tỉ số \(\frac{{{v_y}}}{{{v_x}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Hình chiếu của vectơ hướng \(\overrightarrow u \)lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)là \[\overrightarrow {u'} = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\]
\(\cos \alpha = \frac{{\frac{1}{2}.1}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 2 \)nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Ta có : \[S = 1500 = \int\limits_0^{10} {\left( {at + 50} \right){\rm{d}}t} = \left. {\frac{{a{t^2}}}{2} + 50t} \right|_0^{10} = \frac{{a{{.10}^2}}}{2} + 50.10 \Rightarrow a = 20\left( {m/{s^2}} \right)\]
Vậy \(v\left( t \right) = 20t + 50\)
Quãng đường trong giây thứ \(10\) là\(S = \int\limits_9^{10} {\left( {20t + 50} \right){\rm{d}}t} = 240\)(m) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Quãng đường đi được từ lúc bắt đầu tới \(t = 5\)là: \(S = \int\limits_0^5 {\left( {20t + 50} \right){\rm{d}}t} = 500\)(m)
Độ cao tại thời điểm \(t = 5\)là: \[z\left( 5 \right) = {z_A} + s.{u_3} = 0 + 500.\frac{1}{2} = 250\](m) nên mệnh đề d) sai