Cho \(\Delta \,OAB\) vuông tại \(A\), kẻ tia \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\), lấy điểm \[H\] trên tia \(OB\) sao cho \(OA = OH\).

a) Chứng minh \(\Delta \,OAC = \Delta \,OHC\).

b) Chứng minh: \(CH \bot OB\).

c) Tia \[HC\] cắt tia \[OA\] tại \[M\]. Chứng minh \(\Delta \,OMB\) là tam giác cân.

d) Kẻ \(CK \bot MB\left( {K \in MB} \right)\). Chứng minh ba điểm \(O,C,K\) thẳng hàng.

a) Xét \(\Delta \,OAC\) và \(\Delta \,OHC\) ta có:

\(OA = OH\) (gt)

\(\widehat {AOC} = \widehat {HOC}\) (\(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\))

\(OC\) chung

Suy ra \(\Delta \,OAC = \Delta \,OHC\) (c.g.c) (đpcm)

b) Vì \(\Delta \,OAC = \Delta \,OHC\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {OHC}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {OAC} = 90^\circ \) (\(\Delta \,OAB\) vuông tại \(A\))

Suy ra \(\widehat {OHC} = 90^\circ \) suy ra \(CH \bot OB\) (đpcm)

c) Xét \(\Delta \,OAB\) và \(\Delta \,OHM\) ta có:

\(\widehat {OAB} = \widehat {OHM}\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\); \(OA = OH\) (gt); \(\widehat {AOB}\) chung

Suy ra \(\Delta \,OAB = \Delta \,OHM\) (g.c.g) suy ra \(OB = OM\) (2 cạnh tương ứng)

Suy ra \(\Delta \,OMB\) cân tại \(O\) (đpcm).

d) Xét \(\Delta \,MAB\) và \(\Delta \,BHM\) ta có:

\(MB\) chung

\(\widehat {AMB} = \widehat {HBM}\) (\(\Delta \,OMB\) cân tại \(O\))

\(AB = HM\) (\(\Delta \,OAB = \Delta \,OHM\))

Suy ra \(\Delta \,MAB = \Delta \,BHM\) (c.g.c) suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {HMB}\)

Mà \(\widehat {KCM} + \widehat {HMB} = 90^\circ ;\,\,\,\widehat {KCB} + \widehat {ABK} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {KCB} = \widehat {KCM}\)

Xét \(\Delta \,CMK\) và \(\Delta \,CBK\) ta có:

\(\widehat {MKC} = \widehat {BKC}\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\); \(KC\) chung; \(\widehat {MCK} = \widehat {BCK}\) (cmt)

Suy ra \(\Delta \,CMK = \Delta \,CBK\) (g.c.g)

Suy ra \(KB = KC\) suy ra \(K\) là trung điểm của \(MB\)

Mà \(CK \bot MB\) suy ra \(CK\) là đường trung trực của \(MB\) (1)

Vì \(\Delta \,OMB\) cân tại \(O\) suy ra \(OB = OM\) suy ra \(O\) thuộc đường trung trực của \(MB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O \in KC\) hay \(O,K,C\) thẳng hàng (đpcm)