Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành lúc\[\;5\] giờ từ vị trí \[A\left( {2; - 1} \right)\] chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ \(\vec v = \left( {3;2} \right).\)Lúc \[11h\] cùng ngày, đội cứu hộ bờ biển nhận được thông tin động cơ tàu bị hỏng và bị thả trôi theo dòng nước với chuyển động thẳng đều (vận tốc theo giờ) được biểu thị bởi vectơ \(\vec u = \left( { - 1;1} \right).\)Vị trí của tàu tại thời điểm đội cứu hộ tìm thấy sau \(2\) giờ nhận tin là: \[E\left( {a,b} \right).\] Khi đó giá trị của biểu thức \[a - 2b\;\] bằng ____

Đáp án:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 2.\)
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(2\)

Phương pháp giải:

 \[ - 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}\cos x{\rm{ }} \le {\rm{ }}1\]

Giải chi tiết:

Ta có : \(y = 1 - 2\cos x - {\cos ^2}x = 2 - {(\cos x + 1)^2}\)

Nhận xét : \( - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2\)

Do đó \(y = 2 - {(\cos x + 1)^2} \le 2 - 0 = 2{\rm{ v\`a }}y = 2 - {(\cos x + 1)^2} \ge 2 - 4 = - 2\)

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho lần lượt là \(2\) và \( - 2.\)

Đáp án:

Có \(21\) chữ số \(0\) tận cùng của \(A_{150}^{80}\)

Phương pháp giải:

Tìm thừa số của \(5\) trong biểu thức

Giải chi tiết:

Ta có \(A_{150}^{80} = \frac{{150!}}{{70!}}\)

Vì mỗi cặp thừa số \(\left( {2 \times 5} \right)\) sẽ tạo ra một chữ số \(0,\) mà trong các dãy số tự nhiên, số lượng thừa số \(2\) luôn nhiều hơn số lượng thừa số \(5\), nên ta chỉ cần đếm số thừa số \(5\) là đủ.

- Tính số thừa số \(5\) trong \(150!\)

\(\left[ {\frac{{150}}{5}} \right] = 30\) (có \(30\) số chia hết cho \(5\) trong khoảng từ \(1\) đến \(150\)).

\(\left[ {\frac{{150}}{{25}}} \right] = 6\) (có \(6\) số chia hết cho \({5^2} = 25\), mỗi số này đóng góp thêm một thừa số \(5\) nữa).

\(\left[ {\frac{{150}}{{125}}} \right] = 1\) (có \(1\) số chia hết cho \({5^3} = 125\), đóng góp thêm một thừa số \(5\)).

Tổng số thừa số \(5\) trong \(150!\) là: \(30 + 6 + 1 = 37\).

Tính số thừa số \(5\) trong \(70!\)

\(\left[ {\frac{{70}}{5}} \right] = 14\) (có \(14\) số chia hết cho \(5\) trong khoảng từ \(1\) đến \(70\))

\(\left[ {\frac{{70}}{{25}}} \right] = 2\) (có \(2\) số chia hết cho \({5^2} = 25\) trong khoảng từ \(1\) đến \(70\))

Tổng số thừa số \(5\) trong \(70!\) là: \(14 + 2 = 16\).

Vì \(A_{150}^{80}\) là phép chia, ta lấy số thừa số \(5\) ở tử số trừ đi số thừa số \(5\) ở mẫu số: \(37 - 16 = 21\).