Giả sử \(f\left( x \right) = {\rm{ln}}\frac{{1 - x}}{{1 + x}}.\) Tập các giá trị \(a,b\) thỏa mãn đẳng thức \(f\left( a \right) + f\left( b \right) = f\left( {\frac{{a + b}}{{1 + ab}}} \right).\)

Đáp án:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 2.\)
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(2\)

Phương pháp giải:

 \[ - 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}\cos x{\rm{ }} \le {\rm{ }}1\]

Giải chi tiết:

Ta có : \(y = 1 - 2\cos x - {\cos ^2}x = 2 - {(\cos x + 1)^2}\)

Nhận xét : \( - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2\)

Do đó \(y = 2 - {(\cos x + 1)^2} \le 2 - 0 = 2{\rm{ v\`a }}y = 2 - {(\cos x + 1)^2} \ge 2 - 4 = - 2\)

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho lần lượt là \(2\) và \( - 2.\)

Đáp án:

Có \(21\) chữ số \(0\) tận cùng của \(A_{150}^{80}\)

Phương pháp giải:

Tìm thừa số của \(5\) trong biểu thức

Giải chi tiết:

Ta có \(A_{150}^{80} = \frac{{150!}}{{70!}}\)

Vì mỗi cặp thừa số \(\left( {2 \times 5} \right)\) sẽ tạo ra một chữ số \(0,\) mà trong các dãy số tự nhiên, số lượng thừa số \(2\) luôn nhiều hơn số lượng thừa số \(5\), nên ta chỉ cần đếm số thừa số \(5\) là đủ.

- Tính số thừa số \(5\) trong \(150!\)

\(\left[ {\frac{{150}}{5}} \right] = 30\) (có \(30\) số chia hết cho \(5\) trong khoảng từ \(1\) đến \(150\)).

\(\left[ {\frac{{150}}{{25}}} \right] = 6\) (có \(6\) số chia hết cho \({5^2} = 25\), mỗi số này đóng góp thêm một thừa số \(5\) nữa).

\(\left[ {\frac{{150}}{{125}}} \right] = 1\) (có \(1\) số chia hết cho \({5^3} = 125\), đóng góp thêm một thừa số \(5\)).

Tổng số thừa số \(5\) trong \(150!\) là: \(30 + 6 + 1 = 37\).

Tính số thừa số \(5\) trong \(70!\)

\(\left[ {\frac{{70}}{5}} \right] = 14\) (có \(14\) số chia hết cho \(5\) trong khoảng từ \(1\) đến \(70\))

\(\left[ {\frac{{70}}{{25}}} \right] = 2\) (có \(2\) số chia hết cho \({5^2} = 25\) trong khoảng từ \(1\) đến \(70\))

Tổng số thừa số \(5\) trong \(70!\) là: \(14 + 2 = 16\).

Vì \(A_{150}^{80}\) là phép chia, ta lấy số thừa số \(5\) ở tử số trừ đi số thừa số \(5\) ở mẫu số: \(37 - 16 = 21\).