Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và $\widehat{DCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$. Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C

Các hình nội tiếp được trong một đường tròn là:

+ Hình chữ nhật:

Hình chữ nhật ABCD có:

⇒ ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Đường tròn đó là đường tròn đường kính AC.

+ Hình vuông:

Vì hình vuông là hình chữ nhật

⇒ Hình vuông cũng nội tiếp trong một đường tròn.

+ Hình thang cân:

Hình thang cân ABCD có:

⇒ ABCD nội tiếp trong một đường tròn.

+ Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD

$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{BCP}={180}^o$(hai góc trong cùng phía) (1)

+ ABCP là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{PAB}+\widehat{BCP}={180}^o\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{PAB}=\widehat{ABC}$

+ Tứ giác ABCP có: AB//CP (vì AB//CD)

=> Tứ giác ABCP là hình thang.

Lại có: $\widehat{PAB}=\widehat{ABC}$ nên ABCP là hình thang cân.

=> AP=BC (3)

Mà ABCD là hình bình hành => AD = BC (4)

Từ (3) và (4) suy ra AP=AD (đpcm).