Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $2C_n^1+C_n^2=65$. Tìm số hạng không chứa x của khai triển biểu thức ${\left(2x^3+\frac{1}{x^2}\right)}^n$, với $x\ne 0$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+4t\\ z=1\end{array}\right.$. Gọi Δ là đường thẳng đi qua điểm $A\left(1;1;1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;2\right)$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và Δ có phương trình là

Cho tập hợp M gồm 15 điểm phân biệt. Số vectơ khác $\overrightarrow{0}$ , có điểm đầu và điểm cuối là các điểm thuộc M là

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng $d_1:x+y-2=0, d_2: x+y-8=0$. Biết rằng tồn tại điểm $B\left(b_1;b_2\right)$ thuộc đường thẳng $d_1$ và điểm $C\left(c_1;c_2\right)$ thuộc đường thẳng $d_2$ sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính giá trị của biểu thức $T=b_1{c}_2-b_2{c}_1$, biết điểm B có hoành độ không âm.

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $2^a=6^b={12}^c$. Khi đó biểu thức $T=\frac{b}{c}-\frac{b}{a}$ có giá trị là

Một người gửi tiết kiệm 200 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6,8%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm số tiền lãi người đó thu được so với tiền gốc ban đầu có thể dùng để mua được một chiếc xe máy giá 47 990 000 đồng, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):\hspace{0.17em}{x}^2+y^2+z^2-2x-2y-2z=0$ và điểm $A\left(2;2;0\right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left(OAB\right)$, biết rằng điểm B thuộc mặt cầu $\left(S\right)$, có hoành độ dương và tam giác OAB đều.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(1;0;0\right), B\left(0;2;0\right), C\left(0;0;-1\right)$. Biết rằng tồn tại duy nhất điểm $S\left(a;b;c\right)$ khác gốc tọa độ để SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính tổng bình phương giá trị của a, b và c.