Cho một nguồn điện có suất điện động E= 24 V và điện trở trong r = 6 $\Omega$. Có thể mắc nhiều nhất bao nhiêu bóng đèn loại 6 V - 3 W vào nguồn điện đã cho trên đây để các đèn sáng bình thường ? Vẽ sơ đồ cách mắc.

Để các đèn cùng loại sáng bình thường thì các đèn thành các dãy song song, mỗi dãy có cùng một số đèn mắc nối tiếp. Gọi số dãy các đèn mắc song song là x và số đèn mắc nối tiếp là y thì theo đầu bài ta xét trường hợp có tổng số đèn là : $N_1$ = xy = 8.

Giả sử bộ nguồn hỗn hợp đối xứng gồm n dãy song song và mỗi dãy gồm m nguồn được mắc nối tiếp (Hình 11.4G). Khi đó bộ nguồn gồm $N_2$ = mn nguồn và có suất điện động là : $E_b$ = m$E_0$= 4m và có điện trở trong là

$r_b$ = m$r_0$/n = m/n 

Các trị số định mức của đèn là : $U_{Đ}$ = 3 V ; $P_{Đ}$ = 3 W do đó $I_{Đ}$ = 1 A.

Cường độ dòng điện mạch chính là :

I = x$I_{Đ}$ = x

Hiệu điện thế mạch ngoài là : U = y$U_{Đ}$ = 3ỵ.

Theo định luật Ôm ta có : U = $E_b$ – I$r_b$ hay 3y = 4m - x.m/n

Từ đó suy ra 3yn + xm = 4mn (1)

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 3yn + xm $\ge$ 2.$\sqrt{3mnxy}$(2)

Kết hợp (1) và (2) trong đó chú ý là $N_1$ = xy = 8 và $N_2$ = mn ta tìm được: $N_2$ $\ge$ 6; y = $N_1$/x = 8/x

Vậy số nguồn ít nhất tà $N_2$(min) = 6 để thắp sáng bình thường bóng đèn.

Để vẽ được sơ đồ các cách mắc nguồn và đèn cho trường hợp này ta lại xét phương trình (1) trên đây, trong đó thay trị số $N_2$ = mn = 6; y =

ta đi tới phương trình : y$n^2$ – 8n + 2x = 0

Phương trình này có nghiệm kép ($∆$’ = 0) là : n = 4/y

Chú ý rằng x, y, n và m đều là số nguyên, dương nên ta có bảng các trị số này như sau :

Như vậy trong trường hợp này chỉ có hai cách mắc các nguồn và các bóng đèn là

- Cách một : Bộ nguồn gồm n = 2 dãy song song, mỗi dãy gồm m = 3 nguồn mắc nối tiếp và các bóng đèn được mắc thành x = 4 dãy song song với mỗi dãy gồm y = 2 bóng đèn mắc nối tiếp (Hình 11.5Ga).

Cách mắc này có hiệu suất là : $H_1$ = 6/12 = 50%

- Cách hai : Bộ nguồn gồm n = 1 dãy gồm m = 6 nguồn mắc nối tiếp và các bóng đèn được mắc thành X = 2 dãy song song với mỗi dãy gồm y = 4 bóng đèn mắc nối tiếp (Hình 11.5Gb).

Cách mắc này có hiệu suất là : $H_2$ = 12/24 = 50%

Xét trường hợp chỉ có 6 bóng đèn loại đã cho, ta có : xy = 6

Kết hợp với phương trình ( 1 ) trên đây ta tìm được :

x = 2 và do đó y = 3 hoặc x = 6 và do đó y = 1.

Nghĩa là có hai cách mắc 6 bóng đèn loại này:

- Cách thứ nhất : Mắc thành 2 dãy song song, mỗi dãy có 3 đèn nối tiếp như sơ đồ Hình 11.3Ga.

- Cách thứ hai : Mắc thành 6 dãy song song, mỗi dãy 1 đèn như Hình 11.3Gb.

Theo cách mắc thứ nhất thì hiệu suất của nguồn là : $H_1$ = 75%

Theo cách mắc thứ hai thì hiệu suất của nguồn là : $H_2$ = 25%

Vậy cách mắc thứ nhất có lợi hơn vì có hiệu suất lớn hơn năng vô ích nhỏ hơn.