Một dây hợp kim có điện trở là R = 5 $\Omega$ được mắc vào hai cực của một pin điện hoá có suất điện động và điện trở trong là E = 1,5 V, r = 1 $\Omega$. Điện trở của các dây nối là rất nhỏ. Tính lượng hoá năng được chuyển hoá thành điện năng trong 5 phút.

Để các đèn cùng loại sáng bình thường thì các đèn thành các dãy song song, mỗi dãy có cùng một số đèn mắc nối tiếp. Gọi số dãy các đèn mắc song song là x và số đèn mắc nối tiếp là y thì theo đầu bài ta xét trường hợp có tổng số đèn là : $N_1$ = xy = 8.

Giả sử bộ nguồn hỗn hợp đối xứng gồm n dãy song song và mỗi dãy gồm m nguồn được mắc nối tiếp (Hình 11.4G). Khi đó bộ nguồn gồm $N_2$ = mn nguồn và có suất điện động là : $E_b$ = m$E_0$= 4m và có điện trở trong là

$r_b$ = m$r_0$/n = m/n 

Các trị số định mức của đèn là : $U_{Đ}$ = 3 V ; $P_{Đ}$ = 3 W do đó $I_{Đ}$ = 1 A.

Cường độ dòng điện mạch chính là :

I = x$I_{Đ}$ = x

Hiệu điện thế mạch ngoài là : U = y$U_{Đ}$ = 3ỵ.

Theo định luật Ôm ta có : U = $E_b$ – I$r_b$ hay 3y = 4m - x.m/n

Từ đó suy ra 3yn + xm = 4mn (1)

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 3yn + xm $\ge$ 2.$\sqrt{3mnxy}$(2)

Kết hợp (1) và (2) trong đó chú ý là $N_1$ = xy = 8 và $N_2$ = mn ta tìm được: $N_2$ $\ge$ 6; y = $N_1$/x = 8/x

Vậy số nguồn ít nhất tà $N_2$(min) = 6 để thắp sáng bình thường bóng đèn.

Để vẽ được sơ đồ các cách mắc nguồn và đèn cho trường hợp này ta lại xét phương trình (1) trên đây, trong đó thay trị số $N_2$ = mn = 6; y =

ta đi tới phương trình : y$n^2$ – 8n + 2x = 0

Phương trình này có nghiệm kép ($∆$’ = 0) là : n = 4/y

Chú ý rằng x, y, n và m đều là số nguyên, dương nên ta có bảng các trị số này như sau :

Như vậy trong trường hợp này chỉ có hai cách mắc các nguồn và các bóng đèn là

- Cách một : Bộ nguồn gồm n = 2 dãy song song, mỗi dãy gồm m = 3 nguồn mắc nối tiếp và các bóng đèn được mắc thành x = 4 dãy song song với mỗi dãy gồm y = 2 bóng đèn mắc nối tiếp (Hình 11.5Ga).

Cách mắc này có hiệu suất là : $H_1$ = 6/12 = 50%

- Cách hai : Bộ nguồn gồm n = 1 dãy gồm m = 6 nguồn mắc nối tiếp và các bóng đèn được mắc thành X = 2 dãy song song với mỗi dãy gồm y = 4 bóng đèn mắc nối tiếp (Hình 11.5Gb).

Cách mắc này có hiệu suất là : $H_2$ = 12/24 = 50%

Vì các bóng đèn cùng loại nên phải được mắc thành các dãy song song, mỗi dãy gồm cùng số đèn mắc nối tiếp. Bằng cách đó, dòng điện chạy qua mỗi đèn mới có cùng cường độ bằng cường độ định mức. Giả sử các đèn được mắc thành x dãy song song, mỗi dãy gồm y đèn mắc nối tiếp theo sơ đồ như trên Hình 11.1G.

Các trị số định mức của mỗi đèn là :

$U_{đ}$ = 6V; $P_{đ}$ = 3 W ; $I_{đ}$ = 0,5 A.

Khi đó hiệu điện thế mạch ngoài là : U = y$U_{đ}$ = 6y.

Dòng điện mạch chính có cường độ là :

I = x$I_{đ}$ = 0,5x

Theo định luật Ôm ta có : U = E - Ir, sau khi thay các trị số đã có ta được :

2y + x = 8 (1)

Kí hiệu số bóng đèn là n = xy và sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

2y + x $\ge$ 2. $\sqrt{xy}$(2)

Kết hợp (1) và (2) ta tìm được : n = xy $\le$ 8.

Vậy có thể mắc nhiều nhất là n = 8 bóng đèn loại này.

Dấu bằng xảy ra với bất đẳng thức (2) khi 2y = x và với xy = 8. Từ đó suy ra x = 4 và y = 2, nghĩa là trong trường hợp này phải mắc 8 bóng đèn thành 4 dãy song song, mỗi dãy gồm 2 bóng đèn mắc nối tiếp như sơ đồ Hình 11.2G.