Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y-4z=0,$ đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và điểm $A\left(1;3;1\right)$ thuộc mặt phẳng $\left(P\right).$ Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và cách d một khoảng cách lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left(a;b;1\right)$ là một VTCP của đường thẳng $\Delta$. Tính $a+2b.$ 

Đáp án A

Phương pháp: 

Đánh giá, tìm vị trí của $\Delta$ để khoảng cách giữa 2 đường thẳng là lớn nhất.

Cách giải:

Kẻ AH vuông góc d, qua A kẻ $d\text{'}//d.$ 

Dựng mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc AH, (Q) cắt (P) tại ${\Delta }_0.$ Ta sẽ chứng minh ${\Delta }_0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài (cách d một khoảng cách lớn nhất).

Vì $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}AH\perp d\\ AH\perp \left(Q\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow d//\left(Q\right)\Rightarrow d\left(d;\left(Q\right)\right) \\ =AH=d\left(d;{\Delta }_0\right) \end{gathered}$$

 (do ${\Delta }_0\subset \left(Q\right)$)

Lấy $\Delta$ là đường thẳng bất kì qua A và nằm trong (P). Gọi (Q’) là mặt phẳng chứa d’ và

$\Delta \Rightarrow d//\left(Q\text{'}\right)$

$\Rightarrow d\left(d;\left(Q\text{'}\right)\right)=d\left(H;\left(Q\text{'}\right)\right)$ 

Kẻ

$$\begin{gathered} HA\text{'}\perp \left(Q\text{'}\right),A\text{'}\in \left(Q\text{'}\right) \\ \Rightarrow d\left(d;\left(Q\text{'}\right)\right)=HA\text{'}=d\left(d;\Delta \right). \end{gathered}$$ 

Ta có: $HA\text{'}\le HA\Rightarrow$ Khoảng cách từng d đến $\Delta$ lớn nhất bằng AH khi $\Delta$ trùng ${\Delta }_{0.}$

*) Tìm tọa độ điểm H:

Gọi $\left(\alpha \right):$ mặt phẳng qua A vuông góc d 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(\alpha \right):2.\left(x-1\right)-1\left(y-3\right)+1\left(z-1\right) \\ =0\iff 2x-y+z=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} H=d\cap \left(\alpha \right)\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1} \\ =\frac{2x-2-y-1+z-3}{4+1+1} \\ =\frac{2x-y+z-6}{6}=\frac{0-6}{6}=-1 \end{gathered}$$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\\ z=2\end{array}\right.\Rightarrow H\left(-1;0;2\right)$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}\left(-2;-3;1\right)$ 

${\Delta }_0$  có 1 VTCP: $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{AH};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right],$ với $\left(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;1;-4\right)\right)$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{u}=\left(11;-7;1\right) \\ \Rightarrow a=11;b=-7 \\ \Rightarrow a+2b=-3. \end{gathered}$$