Chứng minh $2{\mathrm{n}}^2(\mathrm{n} +1) - 2\mathrm{n}({\mathrm{n}}^2 + \mathrm{n} - 3)$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 1; b chia cho 5 dư 4. Chứng minh ab + 1 chia hết cho 5.

Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52.

Nhân các đa thức sau:

a) (x + 3)(x - 4);

b) (x - 4)(${\mathrm{x}}^2$ + 4x +16);

c) (m${\mathrm{n}}^2$ - 1)(${\mathrm{m}}^2$n + 5);

d) $4\left(\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)(4{\mathrm{x}}^2+1).$

Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có:

$({\mathrm{x}}^4 - {\mathrm{x}}^3\mathrm{y} + {\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2 - {\mathrm{xy}}^3 + {\mathrm{y}}^4 )(\mathrm{x} + \mathrm{y}) = {\mathrm{x}}^5 + {\mathrm{y}}^5.$

Chứng minh n(3-2n) - (n - l)(l + 4n)-l chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Cho a và b là hai số tự nhiên thoả mãn (a + 3) và (b + 4) cùng chia hết cho 5. Chứng minh ${\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2$ cũng chia hết cho 5.