Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết ba góc $\widehat{\text{CAB}},\widehat{\text{ABC}},\widehat{\text{\hspace{0.17em}BCA}}$ đều là góc nhọn. Gọi M là trung điểm của đoạn AH.

1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh CE.CA = CD.CB.

Cách 1: Gọi x(xe) là số xe của đội lúc đầu ( x nguyên dương)

Số tấn hàng mỗi xe dự định chở $\frac{120}{x}$(tấn)

x+4 (xe) là số xe của đội lúc sau

Số tấn hàng mỗi xe khi thực hiện chở $\frac{120}{x+4}$(tấn)

Theo đề bài ta có phương trình $\frac{120}{x}$-$\frac{120}{x+4}$= 1

Giải phương trình ta được x=20 (thỏa đk); x=-24 (không thỏa đk)

Vậy số tấn hàng mỗi xe dụ định chở là 120:20=6 (tấn)

Cách 2:

Gọi x là số tấn hàng của mỗi xe ban đầu dự định chở ( x nguyên dương, x > 1 )

Số tấn hàng của mỗi xe lúc sau chở: x – 1 ( tấn )

Số xe dự định ban đầu : $\frac{120}{x}$  ( xe )

 Số xe lúc sau : $\frac{120}{x-1}$  ( xe )

Theo đề bài ta có phương trình : $\frac{120}{x-1}$ – $\frac{120}{x}$ = 4 

Giải pt ta được : x₁ = 6 ( nhận );  x₂ = –5 ( loại )

Vậy số tấn hàng của mỗi xe ban đầu dự định chở là : 6 (tấn )

Cách 1:

$$\begin{gathered} x^4-2x^2-3=0\iff x^4-3x^2+x^2-3=0\iff (x^2-3)(x^2+1)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-3=0\\ x^2+1=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{3}\\ Vn(x^2\ge 0\Rightarrow x^2+1>0)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vây phương trình có tập nghiệm $S=\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$

Cách 2: Đặt t=x² ($t\ge 0)$ ta có phương trình t²-2t-3=0 (2)

Ta có a-b+c=1+2-3=0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm t₁=-1(loại);t₂=3(nhận)

Với t₂=3$\iff x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$