Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết ba góc CAB^, ABC^ , BCA^ đều là góc nhọn. Gọi M là trung điểm của đoạn AH.3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam...

3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEFTứ giác BFEC có BEC^=BFC^=900=> tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BCGọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC thì O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF∆OBE cân tại O (do OB=OE) => OBE^=OEB^∆AEH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AH (Vì M là trung điểm AH)=> ME=AH:2= MH do đó ∆MHE cân tại M=> MEH^=MHE^=BHD^Mà BHD^+OBE^=900(∆HBD vuông tại D) Nên OEB^+MEH^=900 Suy ra MEO^=900⇒EM⊥OE tại E thuộc ( O ) => EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF4) Gọi I và J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh DIJ^ = DFC^ Tứ giác AFDC có AFC^=ADC^=900 nên tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn => BDF^=BAC^∆BDF và ∆BAC có BDF^=BAC^ (cmt); B^ chung do đó ∆BDF ~ ∆BAC(g-g)Chứng minh tương tự ta có ∆DEC ~ ∆ABC(g-g)Do đó ∆DBF~∆DEC ⇒BDF^=EDC^⇒BDI^=IDF^=EDJ^=JDC^⇒IDJ^=FDC^(1)Vì ∆DBF~∆DEC (cmt); DI là phân giác, DJ là phân giác ⇒DIDF=DJDC (2)Từ (1) và (2) suy ra ∆DIJ~∆DFC (c-g-c) => DIJ^ = DFC^

Câu hỏi:

12/07/2024 5,201

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết ba góc $\hat{CAB}, \hat{ABC}, \hat{BCA}$ đều là góc nhọn. Gọi M là trung điểm của đoạn AH.
3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.
4) Gọi I và J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh $\hat{DIJ} = \hat{DFC}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

Tứ giác BFEC có $\hat{B E C} = \hat{B F C} = 90^{0}$

=> tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC thì O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

$∆$ OBE cân tại O (do OB=OE) => $\hat{O B E} = \hat{O E B}$

$∆$ AEH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AH (Vì M là trung điểm AH)

=> ME=AH:2= MH do đó $∆$ MHE cân tại M=> $\hat{M E H} = \hat{M H E} = \hat{B H D}$

Mà $\hat{B H D} + \hat{O B E} = 90^{0}$ ( $∆$ HBD vuông tại D)

Nên $\hat{O E B} + \hat{M E H} = 90^{0}$ Suy ra $\hat{M E O} = 90^{0}$

$\Rightarrow E M ⊥ O E$ tại E thuộc ( O ) => EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF

4) Gọi I và J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh $\hat{DIJ} = \hat{DFC}$

Tứ giác AFDC có $\hat{A F C} = \hat{A D C} = 90^{0}$ nên tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn => $\hat{B D F} = \hat{B A C}$

$∆$ BDF và $∆$ BAC có $\hat{B D F} = \hat{B A C}$ (cmt); $\hat{B}$ chung do đó $∆$ BDF $~$ $∆$ BAC(g-g)

Chứng minh tương tự ta có $∆$ DEC $~$ $∆$ ABC(g-g)

Do đó $∆$ DBF $~$ $∆$ DEC $\Rightarrow \hat{B D F} = \hat{E D C} \Rightarrow \hat{B D I} = \hat{I D F} = \hat{E D J} = \hat{J D C} \Rightarrow \hat{I D J} = \hat{F D C}$ (1)

Vì $∆$ DBF $~$ $∆$ DEC (cmt); DI là phân giác, DJ là phân giác $\Rightarrow \frac{D I}{D F} = \frac{D J}{D C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $∆$ DIJ $~$ $∆$ DFC (c-g-c) => $\hat{DIJ} = \hat{DFC}$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một đội xe dự định chở 120 tấn hàng. Để tăng sự an toàn nên đến khi thực hiện, đội xe được bổ sung thêm 4 chiếc xe, lúc này số tấn hàng của mỗi xe chở ít hơn số tấn hàng của mỗi xe dự định chở là 1 tấn. Tính số tấn hàng của mỗi xe dự định chở, biết số tấn hàng của mỗi xe chở khi dự định là bằng nhau, khi thực hiện là bằng nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1: Gọi x(xe) là số xe của đội lúc đầu ( x nguyên dương)

Số tấn hàng mỗi xe dự định chở $\frac{120}{x}$ (tấn)

x+4 (xe) là số xe của đội lúc sau

Số tấn hàng mỗi xe khi thực hiện chở $\frac{120}{x + 4}$ (tấn)

Theo đề bài ta có phương trình $\frac{120}{x}$ - $\frac{120}{x + 4}$ = 1

Giải phương trình ta được x=20 (thỏa đk); x=-24 (không thỏa đk)

Vậy số tấn hàng mỗi xe dụ định chở là 120:20=6 (tấn)

Cách 2:

Gọi x là số tấn hàng của mỗi xe ban đầu dự định chở ( x nguyên dương, x > 1 )

Số tấn hàng của mỗi xe lúc sau chở: x – 1 ( tấn )

Số xe dự định ban đầu : $\frac{120}{x}$ ( xe )

Số xe lúc sau : $\frac{120}{x - 1}$ ( xe )

Theo đề bài ta có phương trình : $\frac{120}{x - 1}$ – $\frac{120}{x}$ = 4

Giải pt ta được : x₁ = 6 ( nhận ); x₂ = –5 ( loại )

Vậy số tấn hàng của mỗi xe ban đầu dự định chở là : 6 (tấn )

Câu 2

Giải phương trình $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 3 x^{2} + x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 3 = 0 \\ x^{2} + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm \sqrt{3} \\ V n (x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 1 > 0) \end{array}$

Vây phương trình có tập nghiệm $S = \{- \sqrt{3}; \sqrt{3}\}$

Cách 2: Đặt t=x² ( $t \geq 0)$ ta có phương trình t²-2t-3=0 (2)

Ta có a-b+c=1+2-3=0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm t₁=-1(loại);t₂=3(nhận)

Với t₂=3 $\Leftrightarrow x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{- \sqrt{3}; \sqrt{3}\}$

Câu 3

Giải phương trình $x^{2} - 9 x + 20 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai hàm số $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ và $y = x - 4$ có đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d )
1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết ba góc $\hat{CAB}, \hat{ABC}, \hat{BCA}$ đều là góc nhọn. Gọi M là trung điểm của đoạn AH.
1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh CE.CA = CD.CB.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho a > 0 và a $\neq$ 4 . Rút gọn biểu thức $T = (\frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 2} - \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} - 2}) . (\sqrt{a} - \frac{4}{\sqrt{a}})$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Giải phương trình $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$

Giải phương trình $x^{2} - 9 x + 20 = 0$

Cho hai hàm số $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ và $y = x - 4$ có đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d )
1) Vẽ hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ).

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết ba góc $\hat{CAB}, \hat{ABC}, \hat{BCA}$ đều là góc nhọn. Gọi M là trung điểm của đoạn AH.
1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh CE.CA = CD.CB.

Cho a > 0 và a $\neq$ 4 . Rút gọn biểu thức $T = (\frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 2} - \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} - 2}) . (\sqrt{a} - \frac{4}{\sqrt{a}})$