Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:aa2+bc+bb2+ca+cc2+ab≤32

Từ điều kiện đề bài ta có ab+bc+caabc=3⇔1a+1b+1c=3 Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:a2+bc≥2a2.bc=2abc⇒aa2+bc≤22abc=12bc1b.1c≤121b+1c⇒aa2+bc≤141b+1cTương tự ta có: bb2+ca≤141c+1a;cc2+ab≤141a+1b⇒aa2+bc+bb2+ca+cc2+ab≤121a+1b+1c=32.

Câu hỏi:

13/07/2024 8,176

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{2} + b c} + \frac{b}{b^{2} + c a} + \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ điều kiện đề bài ta có $\frac{a b + b c + c a}{a b c} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

$a^{2} + b c \geq 2 \sqrt{a^{2} . b c} = 2 a \sqrt{b c} \Rightarrow \frac{a}{a^{2} + b c} \leq \frac{2}{2 a \sqrt{b c}} = \frac{1}{2 \sqrt{b c}} \frac{1}{\sqrt{b}} . \frac{1}{\sqrt{c}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \Rightarrow \frac{a}{a^{2} + b c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Tương tự ta có:

$\frac{b}{b^{2} + c a} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{c} + \frac{1}{a}); \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \Rightarrow \frac{a}{a^{2} + b c} + \frac{b}{b^{2} + c a} + \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{3}{2} .$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng (d): y = 4x – m
a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung

Xem đáp án » 13/07/2024 5,814

Câu 2:

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp
b) Chứng minh CF.CA = CH.CB

Xem đáp án » 13/07/2024 4,447

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x - y = 1 \\ 2 x + 3 y = 8 \end{cases}$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,228

Câu 4:

Giải phương trình (x – 1)⁴ = x² – 2x + 3

Xem đáp án » 13/07/2024 3,240

Câu 5:

Giải phương trình $x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,625

Câu 6:

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. CD là dây cung thay đổi của nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A và D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
c) Gọi I là trung diểm của HF. Chứng minh tia OI là tia phân giác của góc COD.
d) Chứng minh điểm I thuộc một đường tròn cố định khi CD thay đổi

Xem đáp án » 11/07/2024 2,563

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:aa2+bc+bb2+ca+cc2+ab≤32

Bình luận

Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = 4x – ma) Vẽ parabol (P)b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung

Giải hệ phương trình 3x−y=12x+3y=8

Giải phương trình (x – 1)4 = x2 – 2x + 3

Giải phương trình x2+2x−8=0

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{2} + b c} + \frac{b}{b^{2} + c a} + \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{3}{2}$

Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng (d): y = 4x – m
a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x - y = 1 \\ 2 x + 3 y = 8 \end{cases}$

Giải phương trình (x – 1)⁴ = x² – 2x + 3

Giải phương trình $x^{2} + 2 x - 8 = 0$