Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và EH.

a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng;

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $\mathrm{AM}\perp \mathrm{IK}$ .

Hình bình hành ABCD có góc A bằng 2 lần góc B. Số đo góc D là

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{Q}=\frac{2{\mathrm{x}}^2+2}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2}$

Cho hình thang vuông ABCD $\left(\mathrm{AB}\text{\hspace{0.17em}//}\mathrm{CD},\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{D}}={90}^{\circ }\right)$ có AD =  CD = 2AB. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.

a) Chứng minh AE = 2AB và tứ giác AECD là hình vuông.

b) Gọi M là trung điểm của EC và I là giao điểm của BC và DM. Chứng minh diện tích tam giác DIC bằng diện tích tứ giác EBIM.

c) Biết DA và CB cắt nhau tại V. Gọi N là hình chiếu của I trên AD. Chứng minh ${\mathrm{NI}}^2=\mathrm{ND}.\mathrm{NV}$ .

Kết quả của phép tính $\frac{5\mathrm{x}+2}{3{\mathrm{xy}}^2}:\frac{10\mathrm{x}+4}{{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}}$ là

Có 2 khu dân cư A và B cùng nằm bên bờ sông MN (như hình vẽ). Người ta muốn xây dựng một trạm cấp nước  trên bờ sông MN để cung cấp cho hai khu dân cư nói trên. Gọi C là địa điểm đặt trạm. Hãy xác định vị trí của C trên bờ sông MN để tổng độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai khu dân cư A và B là ngắn nhất (giả thiết các đường ống dẫn nước là đường thẳng AC, BC).

Cho hình bình hành ABCD có góc A là góc tù. Kẻ AH và CK vuông góc với đường chéo BD.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng.

c) Tính diện tích hình bình hành AHCK. Biết AH = 4cm, HK = 2cm.