Câu hỏi:

11/07/2024 7,461

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của ABDH, K là giao điểm của ACEH.

a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng;

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AMIK .

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?

ΔABC vuông tại A IAK^=90.

Vì D đối xứng với H qua AB nên IHA^=90.

Vì E đối xứng với H qua AC nên HKA^=90.

BAC^=IHA^=HKA^=90

Xét tứ giác AIHK có BAC^=IHA^=HKA^=90. Suy ra, tứ giác AIHK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.

D đối xứng với H qua AB nên ΔADH cân tại A. Mà AI là đường cao trong ΔADH nên AI cũng là đường phân giác của góc DAH DAI^=IAH^

Tương tự, ta cũng chứng minh được: HAK^=KAE^ 

Ta có:

DAE^=DAI^+IAH^+HAK^+KAE^=2IAH^+HAK^=180

=> D, A, E thẳng hàng.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AMIK.

Gọi O là giao điểm của AMIK. Gọi G là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AIHK.

ΔABC vuông tại AAM là đường trung tuyến suy ra AM = BM = CM.

ΔAMC cân tại M (dấu hiệu nhận biết)

MAC^=MCA^ (tính chất)

Vì tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên GA = GH = GI = GK.

ΔGKA cân tại G GKA^=GAK^.

Ta lại có: ABH^+BAH^=90BAH^+HAC^=90ABH^=HAC^ABH^=GAK^

GKA^=ABH^OKA^=ABH^ 

Xét tam giác ABC có: ABC^+ACB^=90 hay ABH^+MCA^=90

OKA^=ABH^ và MAC^=MCA^ nên ta có: OKA^+MAC^=90

Suy ra, OAK^+OKA^=90AOK^=90

Suy ra, AMIK tại O.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên A^=C^ và B^=D^ (tính chất)

Áp dụng định lý tổng các góc trong một tứ giác ta có:

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP