Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH. Từ H kẻ $\mathrm{HE}\perp \mathrm{AB}$, $\mathrm{HF}\perp \mathrm{AC}$ $\left(\mathrm{E}\in \mathrm{AB};\mathrm{F}\in \mathrm{AC}\right)$.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A $\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}={90}^{\circ }$

Vì $\mathrm{HE}\perp \mathrm{AB}$, $\mathrm{HF}\perp \mathrm{AC}$ nên $\widehat{\mathrm{HEA}}={90}^{\circ },\widehat{\mathrm{HFA}}={90}^{\circ }$.

Xét tứ giác AEHF ta có:

$\widehat{\mathrm{EAF}}=\widehat{\mathrm{HEA}}=\widehat{\mathrm{HFA}}={90}^{\circ }$

Suy ra, tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.

Vì AEHF là hình chữ nhật suy ra EH // AF và EH = AF (tính chất của hình chữ nhật)

Vì D là tâm đối xứng của A qua F nên F là trung điểm của AD. Suy ra, AF = FD.

Do đó, EH // FD và EH = FD.

Suy ra, DHEF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.

+) Vì I là giao điểm của EF và AH nên ba điểm E, I, F thẳng hàng.

+) Gọi O là giao điểm của EF và AM.

Vì AM là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta ABC}$ nên AM = MC suy ra $\mathrm{\Delta AMC}$ cân tại M. Do đó, $\widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{MCA}}$.

Vì EHFA là hình chữ nhật, có I là giao điểm hai đường chéo nên ta có $\widehat{\mathrm{IAF}}=\widehat{\mathrm{IFA}}$.

Xét $\mathrm{\Delta AHC}$ ta có: $\widehat{\text{HAC}}\text{+}\widehat{\text{HCA}}{\text{=90}}^{\circ }$ hay $\widehat{\text{IAF}}\text{+}\widehat{\text{MCA}}{\text{=90}}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{IFA}}+\widehat{\mathrm{MAC}}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{\mathrm{OFA}}+\widehat{\mathrm{OAF}}={90}^{\circ }$

Xét $\mathrm{\Delta OAF}$ có $\widehat{\mathrm{OFA}}+\widehat{\mathrm{OAF}}={90}^{\circ }$ suy ra $\widehat{\mathrm{AOF}}={90}^{\circ }$

=> EF vuông góc với AM tại O hay IF vuông góc với AM tại O.

+) Xét $\mathrm{\Delta KAM}$ ta có:

$\mathrm{GM}\perp \mathrm{KA}$ tại G

$\mathrm{AH}\perp \mathrm{KM}$ tại H

Mà I là giao điểm của AH và GM nên I là trực tâm của $\mathrm{\Delta KAM}$.

$\Rightarrow \mathrm{KI}\perp \mathrm{AM}$ mà $\mathrm{IF}\perp \mathrm{AM}$

=> K, I, F thẳng hàng.

Ta có:

Ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Ba điểm K, I, F thẳng hàng.

=>  Bốn điểm I, K, E, F thẳng hàng.