Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC tại D, đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật.

b) Nếu AB = AC thì các tứ giác ADME, BEDC là hình gì? Vì sao?

a) Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật.

$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{AB}\perp \mathrm{AC}$ ($\widehat{\mathrm{BAC}}={90}^{\circ }$)

Theo giả thiết, ta có:

+) $\left.\begin{array}{l}\mathrm{MD}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AB}\\ \mathrm{AB}\perp \mathrm{AC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{MD}\perp \mathrm{AC}$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MDA}}={90}^{\circ }$

+) $\left.\begin{array}{l}\mathrm{ME}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AC}\\ \mathrm{AB}\perp \mathrm{AC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{ME}\perp \mathrm{AB}$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MED}}={90}^{\circ }$

Xét tứ giác ADME ta có: $\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{MED}}=\widehat{\mathrm{MDA}}={90}^{\circ }$

=> Tứ giác ADME là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

b) Nếu AB = AC thì các tứ giác ADME, BEDC là hình gì? Vì sao?

*) Xét $\mathrm{\Delta ABC}$ ta có:

+) $\left.\begin{array}{l}\mathrm{BM}=\mathrm{MC}\\ \mathrm{MD}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AB}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{MD}$ là đường trung bình trong $\mathrm{\Delta ABC}$.

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{DC}=\frac{\mathrm{AC}}{2}$

+) $\left.\begin{array}{l}\mathrm{BM}=\mathrm{MC}\\ \mathrm{ME}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AD}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{ME}$ là đường trung bình trong $\mathrm{\Delta ABC}$.

$\Rightarrow \mathrm{AE}=\mathrm{EB}=\frac{\mathrm{AB}}{2}$

Nếu AB = AC thì AD = AE.

Mà tứ giác ADME là hình chữ nhật => Tứ giác ADME là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

Vậy nếu AB = AC thì tứ giác ADME là hình vuông.

*) Xét $\mathrm{\Delta ABC}$ ta có:

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{EA}=\mathrm{EB}\\ \mathrm{DA}=\mathrm{DC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{ED}$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta ABC}$

=> ED // BC

=> EDBC là hình thang (dấu hiệu nhận biết)

Nếu AB = AC thì $\mathrm{\Delta ABC}$ là tam giác vuông cân (theo định nghĩa)

Suy ra, $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ (tính chất)

Hay $\widehat{\mathrm{EBC}}=\widehat{\mathrm{DCB}}$.

=> EDCB là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)

Vậy nếu AB = AC thì EDCB là hình thang cân.