Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Kẻ $DE//AC\left(E\in AB\right)$, kẻ $DF//AB\left(F\in AC\right).$ Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I là trung điểm của AD

Kẻ IH là tia phân giác $\widehat{BIC}$

Ta có: $\widehat{CBD}=\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (BD là tia phân giác )

 $\widehat{BCE}=\widehat{ACE}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (CE là tia phân giác )

Mà $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$(định lí tổng 3 góc trong tam giác)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°-\widehat{BAC}=180°-60°=120°\\ \Rightarrow \widehat{CBD}+\widehat{BCE}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=\frac{1}{2}.120°=60°\end{array}$

$\Delta BIC$ có: $\widehat{BIC}=180°-\left(\widehat{CBD}+\widehat{BCE}\right)=180°-60°=120°$

$\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{CIH}=\frac{1}{2}\widehat{BIC}=60°$(IH là tia phân giác $\widehat{BIC}$)

$\widehat{BIE}=180°-\widehat{BIC}=180°-120°=60°$

Có: $\widehat{BIE}=\widehat{CID}=60°$(2 góc đối đỉnh)

Xét $\Delta BIE$ và $\Delta BIH$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{BIE}=\widehat{BIH}=60°\\ BIchung\\ \widehat{EBI}=\widehat{HBI}\left(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta BIE=\Delta BIH\left(g.c.g\right)$

 IE = IH (2 cạnh tương ứng)

Xét $\Delta DIC$ và $\Delta HIC$ có:

$\left.\begin{array}{l}\widehat{DIC}=\widehat{HIC}=60°\\ ICchung\\ \widehat{ICH}=\widehat{ICD}\left(\widehat{BCE}=\widehat{ACE}\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta DIC=\Delta HIC\left(g.c.g\right)$

$\Rightarrow \left.\begin{array}{r}ID = IH\\ Mà IE = IH\end{array}\right\}$ => ID = IE (đpcm)

a) $\Delta AHB=\Delta AHC$ (c.c.c)

 $\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{ACH}$$=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-40°}{2}=70°$

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$; $\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$ hay $AH\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{HAC}$ nên AH là phân giác $\widehat{BAC}$ hay $\widehat{HAC}=20°$

b) Gọi P là trung điểm của AC.

$\Delta MPC=\Delta MPA$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{MAP}=\widehat{ACM}=\widehat{ACB}=70°$

Ta có: $\widehat{MAH}=\widehat{MAC}-\widehat{HAC}=70°-20°=50°$

c) có $\widehat{MPC}=90°;\widehat{MCP}=70°$$\Rightarrow \widehat{PMC}=20° \Rightarrow \widehat{CAM}=40°$

$\Delta ANC=\Delta BMA$ (c.g.c)$\Rightarrow NC=MA$ và $\widehat{ANC}=\widehat{BMA}=40°$

d) $\Delta MPC=\Delta MPA$(c.g.c) $\Rightarrow MC=MA$ mà $NC=MA$ (cmt) nên $MC=NC$

$\Delta CIM=\Delta CIN$ (cạnh huyền – góc nhọn)$\Rightarrow IM=IN$

d) Hs có thể sử dụng cách cộng góc:

$\widehat{IKM}+\widehat{MKH}+\widehat{HKC}=70°+70°+40°=180°$ từ đó suy ra  $C,I,K$ thẳng hàng