Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). AH là đường cao của tam giác ABC, M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.

a, Chứng minh AMHN là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh (ABC) = (ANM)

c, Chứng minh OA ⊥ MN

d, Khi AH = R$\sqrt{2}$, Chứng minh M, O, N thẳng hàng

a, Xét tứ giác AMHN có:

∠AMH = ${90}^0$ (MH ⊥ AB)

∠ANH = ${90}^0$ (NH ⊥ AC)

=> ∠AMH + ∠ANH = ${180}^0$

=> Tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp

b, Ta có:

ΔAMH vuông tại M: ∠AHM + ∠MAH = ${90}^0$

ΔABH vuông tại H: ∠ABC + ∠MAH = ${90}^0$

=> ∠AHM = ∠ABC

Do tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp nên ∠AHM = ∠ANM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

=> ∠ABC = ∠ANM

c, Kẻ đường kính AD của (O), Gọi I là giao điểm của AD và MN

ΔANH vuông tại N: ∠AHN + ∠NAH = ${90}^0$

ΔACH vuông tại H: ∠AHN + ∠ACB = ${90}^0$

=> ∠NAH = ∠ACB

Ta lại có: ∠ACB = ∠ADB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

=> ∠NAH = ∠ADB

Mặt khác: tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp nên ∠AMN = ∠AHN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

=> ∠AMN = ∠ADB

Xét ΔAMI và ΔABD có:

∠BAD là góc chung

∠AMN = ∠ADB

=> ΔAMI ∼ ΔADB

=> ∠ AIM = ∠ABD

Mà ∠ABD = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠AIM = ${90}^0$

Hay OA ⊥ MN

d, Xét tam giác AIN và tam giác ACD có:

∠DAC là góc chung

∠AIN = ∠ACD = ${90}^0$

=> ΔAIN ∼ ΔACD

=> $\frac{AI}{AC}$ = $\frac{AN}{AD}$

<=> AI.AD = AC.AN (1)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

=> AC. AN = AH² (2)

Từ (1) và (2) => AI.AD = AH² <=> AI.AD = 2R²

<=> AI.2R = 2R² <=> AI = R <=> I ≡ O

Vậy M, N, O thẳng hàng