Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Dựng đường tròn tâm O, đường kính AH cắt AB tại E, cắt AC tại F. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E và F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N

a, Chứng minh MEOH là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh rằng: AB. HE = AH. HB

c, Chứng minh 3 điểm E, O, F thẳng hàng

d, AB = $2\sqrt{10}$cm, AC = $2\sqrt{15}$cm, Tính diện tích tam giác OMN

a, Xét tứ giác MEOH có:

∠MEO = ${90}^0$ (ME là tiếp tuyến của (O))

∠MHO = ${90}^0$ (OH ⊥BC)

=>∠MEO + ∠MHO = ${180}^0$

=> Tứ giác MEOH là tứ giác nội tiếp đường tròn

b, Ta có: ∠AEH = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠BEH = ${90}^0$

Xét ΔABH và ΔBHE có:

∠ABH là góc chung

∠BHA = ∠BEH = ${90}^0$

=>ΔABH ∼ ΔHBE (g.g)

=> $\frac{AB}{BH}$ = $\frac{AH}{HE}$

=> AB.HE=AH.BH

c, Xét tứ giác AEHF có:

∠AEH = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

∠EAF = ${90}^0$

∠AHF = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

Mà O là trung điểm của AH

=> O là trung điểm của EF

Hay E, O, F thẳng hàng

d, Xét ΔMEO và ΔMHO có:

∠MEO = ∠MHO = ${90}^0$

EO = OH

MO là cạnh chung

=> ΔMEO = ΔMHO (c.h-c.g.v)

=> ME = MH

Ta có: ME = MH và MO = OH

=>MO là đường trung trực của EH

=> MO ⊥ EH

Mà AB ⊥EH

=> MO // AB

Xét tam giác ABH có:

O là trung điểm của AH

MO // AB

=> MO = 1/2AB = $\sqrt{10}$

Chứng minh tương tự, ta có:

NO // AC ; NO = 1/2AC = $\sqrt{15}$

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}MO//AB\\ NO//AC\\ AB\perp AC\end{array}\right.$ =>MO ⊥ NO => ΔMON vuông tại O

=> $S_{MON}=1/2.OM.ON=1/2.\sqrt{10}.\sqrt{15}$ = $\frac{5\sqrt{6}}{2}$ $c{m}^2$