Cho tam giác MNP có PM=PN. Chứng minh: $\widehat{\text{PMN}}=\widehat{\text{PNM}}$ bằng hai cách.

a) Xét hai tam giác vuông ΔAOC và ΔBOD ta có:

AO = BO; OC = OD (vì O là trung điểm của AB và CD)

Do đó ΔAOC = ΔBOD (hai cạnh góc vuông).

Suy ra DC = BD (hai cạnh tương ứng); \(\widehat {CAO} = \widehat {OBD}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này lại là góc so le trong nên AC // BD.

b) Xét hai tam giác vuông ΔAOD và ΔBOC ta có:

AO = BO; OC = OD (vì O là trung điểm của AB và CD)

Do đó ΔAOD = ΔBOC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng); \(\widehat {DAO} = \widehat {OBC}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này lại là góc so le trong nên AD // BC.

c) Xét ΔABC và ΔABD ta có:

AC = BD (cmt);

AD = BC (cmt)

AB là cạnh chung

Do đó ΔABC = ΔABD (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {BDA}\) (hai góc tương ứng).

d) Xét ΔHOC và ΔIOD ta có:

OH = OI (giả thiết)

\(\widehat {HOC} = \widehat {IOD}\) (hai góc đối nhau)

OC = OD (giả thiết)

Do đó ΔHOC = ΔIOD(c.g.c)

Suy ra \(\widehat {OID} = \widehat {IHC}\)= 90° nên DI ⊥ AB.