a) Cho $a=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}},b=\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{100...0}}}5.$ Chứng minh rằng là số chính phương.

b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước: 16, 1156, 111556, ...

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $a^3+b^3+c^3-3abc$

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách áp dụng câu a): ${\left(x-y\right)}^3+{\left(y-z\right)}^3+{\left(z-x\right)}^3.$

Chứng minh rằng:

a) Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương.

b) Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương.

c) Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì cũng là tổng của hai số chính phương.

d) Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai số chính phương.

Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?

a) $A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}25;$

b) $B=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}8\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}1;$

c) $C=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{44...4}}}\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{88...8}}}9;$

d) $D=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}\underset{n+1}{\underbrace{\mathrm{22...2}}}5.$

Cho a+b+c=0. Rút gọn biểu thức: $M=a^3+b^3+c(a^2+b^2)-abc$

Xét hằng đẳng thức $(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$. Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, ... , n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị biểu thức: $S=1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2.$

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^4+x^3+2x^2+x+1$

Chứng minh rằng số $A=\frac{1}{3}(\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}-\underset{n}{\underbrace{\mathrm{33...3}}}\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}})$ là lập phương của một số tự nhiên.