Ôn tập Phép nhân và phép chia đa thức có đáp án - Phần 3

Rút gọn các biểu thức:

a) $(a+b+c{)}^3-(b+c-a{)}^3-(a+c-b{)}^3-(a+b-c{)}^3$

b) ${\left(a+b\right)}^3+{\left(b+c\right)}^3+{\left(c+a\right)}^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right).$

Cho a+y=a và xy=b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b:

a) $x^2+y^2;$

b) $x^3+y^3;$

c) $x^4+y^4;$

d) $x^5+y^5.$ 

a) Cho x+y=1 Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3+3xy$

b) Cho x-y=1. Tính giá trị của biểu thức $x^3-y^3-3xy.$

Cho a+b=1. Tính giá trị của biểu thức $M=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2{b}^2\left(a+b\right).$

a) Cho x+y=2 và $x^2+y^2=10$. Tính giá trị của biểu thức $x^3+y^3.$

b) Cho x+y=a và $x^2+y^2=b.$ Tính $x^3+y^3$ theo a và b.

Chứng minh rằng:

a) Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương.

b) Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương.

c) Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì cũng là tổng của hai số chính phương.

d) Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai số chính phương.

Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?

a) $A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}25;$

b) $B=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}8\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}1;$

c) $C=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{44...4}}}\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{88...8}}}9;$

d) $D=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}\underset{n+1}{\underbrace{\mathrm{22...2}}}5.$

Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương:

a) $A=\underset{2n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}-\underset{n}{\underbrace{\mathrm{22...2}}};$

b) $B=\underset{2n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}+\underset{n}{\underbrace{\mathrm{44...4}}}+1.$

a) Cho $a=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}},b=\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{100...0}}}5.$ Chứng minh rằng là số chính phương.

b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước: 16, 1156, 111556, ...

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.

Chứng minh rằng ab+1 là số chính phương với $a=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}2,b=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}4.$

Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n+1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a+b+c+8 là số chính phương.

Chứng minh răng biểu thức sau không là lập phương của một số tự nhiên: ${10}^{150}+{5.10}^{50}+1.$

Chứng minh rằng tích ba số nguyên dương liên tiếp không là lập phương của một số tự nhiên.

Chứng minh rằng số $A=\frac{1}{3}(\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}-\underset{n}{\underbrace{\mathrm{33...3}}}\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}})$ là lập phương của một số tự nhiên.

Chia 27 quả cân có khối lượng 10, 20, 30, ..., 270 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

Chia 18 quả cân có khối lượng $1^2.2^2,3^2,...,{18}^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau

Chia 27 quả cân có khối lượng $1^2,2^2,3^2,...,{27}^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^4+x^3+2x^2+x+1$

Cho a+b+c=0. Rút gọn biểu thức: $M=a^3+b^3+c(a^2+b^2)-abc$

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $a^3+b^3+c^3-3abc$

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách áp dụng câu a): ${\left(x-y\right)}^3+{\left(y-z\right)}^3+{\left(z-x\right)}^3.$

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) ${\left(a+b+c\right)}^3-a^3-b^3-c^3$

b) $8{\left(x+y+z\right)}^3-{\left(x+y\right)}^3-{\left(y+z\right)}^3-{\left(z+x\right)}^3.$

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $P=x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-x\right)+z^2\left(x-y\right).$

Xét hằng đẳng thức $(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$. Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, ... , n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị biểu thức: $S=1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2.$

Phân tích thành nhân tử:

a) ${\left(ab-1\right)}^2+{\left(a+b\right)}^2;$

b) $x^3+2x^2+2x+1;$

c) $x^3-4x^2+12x-27;$

d) $x^4-2x^3+2x-1;$

e) $x^4+2x^3+2x^2+2x+1.$

Phân tích thành nhân tử:

a) $x^2-2x-4y^2-4y;$

b) $x^4+2x^3-4x-4;$

c) $x^2\left(1-x^2\right)-4-4x^2;$

d) $\left(1+2x\right)\left(1-2x\right)-x\left(x+2\right)\left(x-2\right);$

e) $x^2+y^2-x^2{y}^2+xy-x-y.$