Biết rằng tồn tại hai giá trị ${\mathrm{m}}_1$ và ${\mathrm{m}}_2$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: $2{\mathrm{x}}^3+2\left({\mathrm{m}}^2-2\mathrm{m}+1\right){\mathrm{x}}^2$$+7\left({\mathrm{m}}^2+2\mathrm{m}-2\right)\mathrm{x}-54=0$.  Tính giá trị của biểu thức P = ${\mathrm{m}}_1^3+{\mathrm{m}}_2^3$

Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;...;2048$. Tính tổng S của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.

Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và gọi Thần đèn ra. Thần đèn cho chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: “Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn, và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay”. Thần đèn chấp thuận, và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần Đèn cho ngày hôm sau. Hỏi sau 10 ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả bao nhiêu điều ước?

Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:

Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số 5; x; y; 320 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là $125{\mathrm{cm}}^3$và diện tích toàn phần là $175{\mathrm{cm}}^2$. Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.

Cho cấp số nhân $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_2+{\mathrm{u}}_3+{\mathrm{u}}_4+{\mathrm{u}}_5=11\\ {\mathrm{u}}_1+{\mathrm{u}}_5=\frac{82}{11}\end{array}\right.$. Trên khoảng $\left(\frac{1}{2};1\right)$ có bao nhiêu số hạng của cấp số.