Tính $\int \frac{x\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}\text{\hspace{0.33em}d}x$ .

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)+xf\left(x\right)=2x{e}^{-x^2}$ và $f\left(0\right)=-2$. Tính f(1)

Cho hàm số f(x) liên tục trên R  thỏa mãn điều kiện  $f\left(0\right)=2\sqrt{2},f\left(x\right)>0,\forall x\in ℝ$ và $f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)=\left(2x+1\right)\sqrt{1+f^2\left(x\right)},\forall x\in ℝ$ . Tính giá trị $f\left(1\right)$ .

Cho hàm số f(x) có đạo hàm  $f^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{e}^x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ge 0\\ e^{-x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<0\end{array}\right.$ và $f\left(4\right)=e$ . Đặt $S=f\left(-\ln 3\right)+f\left(\ln 3\right)+f\left(-\ln 2\right)+f\left(\ln 2\right)+200$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số f(x) có $f\left(\sqrt{2}\right)=-2$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{6-x^2}}{,}^{}\forall x\in \left(-\sqrt{6};\sqrt{6}\right)$

Khi đó $\underset{0}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}f\left(x\right)dx$  bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^2+2x-3$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}$ là

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết $x+\sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right).e^x$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right)e^x$ là

Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm $f\left(x\right)=x^2{e}^{\alpha x}\left(\alpha \ne 0\right)$  sao cho $F\left(\frac{1}{\alpha }\right)=F\left(0\right)+1$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?