48 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (P2) (Vận dụng- Vận dụng cao)

34 người thi tuần này 5.0 9.2 K lượt thi 10 câu hỏi 30 phút

Câu 1/10

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ là

A. $2 + (x + 1) \ln 5 + C$

B. $- \ln 5 + C$

C. $2 x - (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C$

D. $2 x + (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C$

Lời giải

Đáp án C

$x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x^{2} + 2 x - 3)}^{'} = f (x) {.5}^{\frac{x}{2}} \\ \Leftrightarrow 2 x + 2 = f (x) {.5}^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow f (x) = \frac{2 x + 2}{5^{\frac{x}{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f^{'} (x) = {(\frac{2 x + 2}{5^{\frac{x}{2}}})}^{'} = \frac{{2.5}^{\frac{x}{2}} - (2 x + 2) (\frac{1}{2} {.5}^{\frac{x}{2}} . \ln 5)}{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}} = \frac{2 - (x + 1) \ln 5}{5^{\frac{x}{2}}} \\ \Rightarrow f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}} = 2 - (x + 1) \ln 5 \end{array}$

$\Rightarrow \int f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}} d x = \int [2 - (x + 1) \ln 5] d x = 2 x - (\frac{x^{2}}{2} + x) \ln 5 + C .$

Câu 2/10

Cho hàm số thỏa mãn $f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π); f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ . Tìm $\int f (x) d x$

A. $\frac{1}{12} (\sin 2 x - \sin 4 x) + C$

B. $\frac{1}{12} (2 \sin 2 x + \sin 4 x) + C$

C. $\frac{1}{12} (\sin 4 x - 2 \sin 2 x) + C$

D. $\frac{1}{12} (2 \sin 2 x - \sin 4 x) + C$

Lời giải

Đáp án D

Tacó:

$f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π)$

$\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) \sin x - f (x) c o s x}{\sin^{2} x} = 2 c o s 3 x$

$\Rightarrow {(\frac{f (x)}{\sin x})}^{'} = 2 c o s 3 x \Rightarrow \frac{f (x)}{\sin x} = \int 2 c o s 3 x dx$

$\Rightarrow \frac{f (x)}{\sin x} = \frac{2}{3} \sin 3 x + C_{1}$

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3} \Rightarrow C_{1} = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{2}{3} s i n x . \sin 3 x$

$\Rightarrow \int f (x) d x = \int \frac{2}{3} s i n x . \sin 3 x d x = \frac{1}{3} \int (c o s 2 x - \cos 4 x) dx$

$= \frac{1}{12} (2 \sin 2 x - \sin 4 x) + C$

Câu 3/10

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết $x + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) . e^{x}$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) e^{x}$ là

A. $\cos x - \sin x + x + C$

B. $- \cos x + \sin x + x + C$

C. $\cos x - \sin x - x + C$

D. $- \cos x - \sin x - x + C$

Lời giải

Đáp án C

Ta có $\int f (x) e^{x} d x = x + \sin x + C \Rightarrow f (x) . e^{x} = 1 + \cos x (1)$

Lấy đạo hàm hai vế của ta được

$f^{'} (x) . e^{x} + f (x) . e^{x} = - \sin x \Leftrightarrow f^{'} (x) . e^{x} = - \sin x - \cos x - 1$

Vậy ta có $\int f^{'} (x) . e^{x} d x = - \int (\sin x + \cos x + 1) d x = \cos x - \sin x - x + C$

Câu 4/10

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = \{\begin{cases} e^{x} khi x \geq 0 \\ e^{- x} khi x < 0 \end{cases}$ và $f (4) = e$ . Đặt $S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $0 < S < 1$

B. $- 3 < S < - 2$

C. $- 2 < S < - 1$

D. $- 4 < S < - 3$

Lời giải

Đáp án A

Ta có: $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} + C_{1} khi x \geq 0 \\ - e^{- x} + C_{2} khi x < 0 \end{cases}$ với $C_{1}$ và $C_{2}$ là các hằng số thực.

$f (4) = e \Rightarrow C_{1} = e - e^{4}$

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 1 + e - e^{4}$

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1 + C_{2}$

Do hàm số có đạo hàm $\forall x \in ℝ \Rightarrow$ Hàm số liên tục trên $ℝ$ .

$\Rightarrow - 1 + C_{2} = 1 + e - e^{4} = f (0) \Rightarrow C_{2} = 2 + e - e^{4}$

Vậy $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} + e - e^{4} khi x \geq 0 \\ - e^{- x} + 2 + e - e^{4} khi x < 0 \end{cases}$

$S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200 = \frac{49}{6} + 4 e - 4 e^{4} + 200 \approx 0, 6$

Câu 5/10

Tìm nguyên hàm $I = \int \frac{x^{2002}}{{(x + 2)}^{2005}} d x$

A. $\frac{1}{4} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} - \frac{1}{4} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

B. $\frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} + \frac{1}{8016} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

C. $\frac{1}{8008} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2002} - \frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} + C$

D. $\frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} - \frac{1}{8016} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

Lời giải

Đáp án D

$I = \int \frac{x^{2002}}{{(x + 2)}^{2005}} d x = \int {(\frac{x}{x + 2})}^{2002} . \frac{1}{x + 2} . \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Đặt $t = \frac{x}{x + 2} \Rightarrow d t = \frac{2. d x}{{(x + 2)}^{2}}$

$I = \int t^{2002} . \frac{1 - t}{2} . \frac{d t}{2} = \frac{1}{4} \int (t^{2002} - t^{2003}) . d t = \frac{1}{8012} . t^{2003} - \frac{1}{8016} . t^{2004} + C$

$\Rightarrow I = \frac{1}{8012} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2003} - \frac{1}{8016} . {(\frac{x}{x + 2})}^{2004} + C$

Câu 6/10

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $f (0) = 2 \sqrt{2}, f (x) > 0, \forall x \in ℝ$ và $f (x) . f^{'} (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$ . Tính giá trị $f (1)$ .

A. $\sqrt{15}$

B. $2 \sqrt{6}$

C. $\sqrt{23}$

D. $\sqrt{26}$

Lời giải

Đáp án B

Ta có $f (x) . f' (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} = 2 x + 1$

$\Leftrightarrow \int \frac{f (x) . f' (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} d x = \int (2 x + 1) d x$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 + f^{2} (x)} = x^{2} + x + C$

Vì $f (0) = 2 \sqrt{2}$ nên $C = 3$ .

$\Rightarrow f (x) = \sqrt{{(x^{2} + x + 3)}^{2} - 1} \Rightarrow f (1) = 2 \sqrt{6}$

Câu 7/10

Cho hàm số f(x) có $f (\sqrt{2}) = - 2$ và $f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{6 - x^{2}}},^{} \forall x \in (- \sqrt{6}; \sqrt{6})$
Khi đó $\int_{0}^{\sqrt{3}} f (x) d x$ bằng

A. $- \frac{3 π}{4}$

B. $\frac{3 π + 6}{4}$

C. $\frac{π + 2}{4}$

D. $- \frac{3 π + 6}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/10

Tính $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x$ .

A. $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \frac{x^{2}}{2} + C$

B. $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \ln (x + 1) + \frac{1}{x + 1} + C$

C. $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} - \frac{1}{2} \ln^{2} (x + 1) - \ln (x + 1) - \frac{1}{x + 1} + C$

D. $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x = - \frac{x \ln (x + 1)}{x + 1} + \frac{1}{2} \ln^{2} (x + 1) + \ln (x + 1) + \frac{1}{x + 1} + C$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/10

Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm $f (x) = x^{2} e^{α x} (α \neq 0)$ sao cho $F (\frac{1}{α}) = F (0) + 1$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $1 < α < 2$

B. $α < - 2$

C. $α \geq 3$

D. $0 < α \leq 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/10

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, thỏa mãn $f' (x) + x f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ và $f (0) = - 2$ . Tính f(1)

A. $f (1) = e$

B. $f (1) = \frac{1}{e}$

C. $f (1) = \frac{2}{e}$

D. $f (1) = - \frac{2}{e}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 4/10 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Tiếng Việt

Tiếng Anh

48 câu Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án (P2) (Vận dụng- Vận dụng cao)

🔥 Học sinh cũng đã học

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Lê Trọng Tấn (Tân Phú - TP.HCM) có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Tây Thạnh (TP.HCM) có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Khuyến (TP.HCM) có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Phan Đăng Lưu (TP.HCM) có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Đào Sơn Tây (TP.HCM) có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Củ Chi (TP.HCM) có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Cao Bá Quát - Quốc Oai (Hà Nội) có đáp án

Danh sách câu hỏi:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x2+2x−3 là một nguyên hàm của hàm số f(x).5x2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x).5x2 là

Cho hàm số thỏa mãn f'xsin x = fxcosx + 2sin2x.co s3x ; ∀x ∈ 0 ; π ; fπ4 = 13. Tìm ∫fxdx

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết x+sinx là một nguyên hàm của hàm số fx.ex , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x)ex là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'x=ex khi x≥0e−x khi x<0 và f4=e . Đặt S=f−ln3+fln3+f−ln2+fln2+200 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tìm nguyên hàm I=∫x2002x+22005 dx

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f0=22, fx>0, ∀x∈ℝ và fx.f'x=2x+11+f2x, ∀x∈ℝ . Tính giá trị f1 .

Cho hàm số f(x) có f2=−2 và f'x=x6−x2,∀x∈−6;6Khi đó ∫03fxdx bằng

Tính ∫xlnx+1x+12 dx .

Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm fx=x2eαx α≠0 sao cho F1α=F0+1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, thỏa mãn f'(x)+xf(x)=2xe−x2 và f(0)=−2. Tính f(1)

Xem tiếp với tài khoản VIP

Đăng ký

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^{2} + 2 x - 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) {.5}^{\frac{x}{2}}$ là

Cho hàm số thỏa mãn $f^{'} (x) \sin x = f (x) c o s x + 2 \sin^{2} x . c o s 3 x; \forall x \in (0; π); f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ . Tìm $\int f (x) d x$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R . Biết $x + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) . e^{x}$ , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) e^{x}$ là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = \{\begin{cases} e^{x} khi x \geq 0 \\ e^{- x} khi x < 0 \end{cases}$ và $f (4) = e$ . Đặt $S = f (- \ln 3) + f (\ln 3) + f (- \ln 2) + f (\ln 2) + 200$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tìm nguyên hàm $I = \int \frac{x^{2002}}{{(x + 2)}^{2005}} d x$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $f (0) = 2 \sqrt{2}, f (x) > 0, \forall x \in ℝ$ và $f (x) . f^{'} (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$ . Tính giá trị $f (1)$ .

Cho hàm số f(x) có $f (\sqrt{2}) = - 2$ và $f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{6 - x^{2}}},^{} \forall x \in (- \sqrt{6}; \sqrt{6})$
Khi đó $\int_{0}^{\sqrt{3}} f (x) d x$ bằng

Tính $\int \frac{x \ln (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} d x$ .

Gọi F(x) là một nguyên hàm trên R của hàm $f (x) = x^{2} e^{α x} (α \neq 0)$ sao cho $F (\frac{1}{α}) = F (0) + 1$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R, thỏa mãn $f' (x) + x f (x) = 2 x e^{- x^{2}}$ và $f (0) = - 2$ . Tính f(1)