Trong không gian Oxyz với hệ trục tọa độ cho điểm $A\left(2;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;2\right)$. Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right).:x+y+z=0$ và tiếp xúc với 3 đường thẳng AB, BC, CA?

Đáp án D

Gọi mặt cầu (S) có tâm I là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh AB,BC,CA.

$d\left(I,AB\right)=d\left(I,BC\right)=d\left(I,AC\right)$.

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).

 M,P,C lần lượt là hình chiếu của H trên AB,BC,CA.

Ta có: $\Delta IHM=\Delta IHN=\Delta IHP$ (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).

$\Rightarrow HM=HN=HP\Rightarrow H$ là điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và cách đều 3 cạnh AB,BC,CA.

$\Rightarrow H$ có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta ABC$.

Mà $IH\perp \left(ABC\right)$ nên tập hợp điểm I là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)\Rightarrow$ có 4 đường thẳng như thế.

Ta có $A\left(2;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;2\right)\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng

 $\left(ABC\right):x+y+z-2=0\Rightarrow \left(ABC\right)//\left(\alpha \right)$.

Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm I nêu trên và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Rightarrow$ có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán