Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e,\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị của đạo hàm f'(x) như hình vẽ.

Biết rằng e>n. Số điểm cực trị của hàm số $y=f\text{'}\left(f\left(x\right)-2x\right)$ bằng

Chọn C.

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=\left(f\text{'}\left(x\right)-2\right)f\text{'}\text{'}\left[f\left(x\right)-2x\right]. \\ y\text{'}=0\iff \left(f\text{'}\left(x\right)-2\right)f\text{'}\text{'}\left[f\left(x\right)-2x\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)-2=0\left(1\right)\\ f\text{'}\text{'}\left[f\left(x\right)-2x\right]=0\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xét phương trình $\left(1\right)\iff f\text{'}\left(x\right)=2.$

Từ đồ thị ta có phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3\left(x_1<m<x_2=0<n<x_3\right).$

Xét phương trình (2).

Trước hết ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4a{x}^3+2b{x}^2+2cx+d. \\ f\text{'}\left(0\right)=2\iff d=2. \end{gathered}$$

Suy ra:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+2x+e. \\ \left(2\right)\iff f\text{'}\text{'}\left[f\left(x\right)-2x\right]=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)-2x=m\\ f\left(x\right)-2x=n\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+e=m\\ a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+e=n\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2=m-e\left(2a\right)\\ a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2=n-e\left(2b\right)\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Số nghiệm của hai phương trình (2a) và (2b) lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng y=m-e và y=n-e (trong đó $m -e<n-e<0)$ với đồ thị hàm số $g\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2.$

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx \\ g\text{'}\left(x\right)=0\iff 4a{x}^3+3b{x}^2+2cx=0\iff 4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+2=2 \\ \iff f\text{'}\left(x\right)=2\iff \left[\begin{array}{l}x=x_1<0\\ x=x_2=0\\ x=x_3>0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Từ đồ thị hàm số y=f'(x) suy ra:

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\text{'}\left(x\right)=+\infty$ nên a<0 nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

Bảng biến thiên của hàm số y=g(x)

Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình (2a), (2b) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt (hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác $x_1,x_2,x_3.$

Suy ra phương trình $\left(f\text{'}\left(x\right)-2\right)f\text{'}\text{'}\left[f\left(x\right)-2x\right]=0$ có 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số $y=f\text{'}\left[f\left(x\right)-2x\right]$ có 7 điểm cực trị.