Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều ABCD.

Chọn D.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD

Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD Khi đó $HI=\frac{2\sqrt{3}}{3},BH=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD

Và HI là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $r=HI=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Tứ diện ABCD đều nên $AH\perp \left(BCD\right),$ suy ra AH là chiều cao của khối tứ diện.

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H ta có

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2\iff A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=4^2-{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{32}{3}\iff AH=\frac{4\sqrt{6}}{3}.$

Vậy chiều cao của hình trụ là $h=AH=\frac{4\sqrt{6}}{3}.$ Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là $l=\frac{4\sqrt{6}}{3}.$ Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rl=2\pi .\frac{2\sqrt{3}}{3}.\frac{4\sqrt{6}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi .$