Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy N,M là trung điểm của AB và AC Tính khoảng cách d giữa CN và DM.

A. $d = a \sqrt{\frac{3}{2}} .$

B. $d = \frac{a \sqrt{10}}{10} .$

C. $d = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

D. $d = \frac{a \sqrt{70}}{35} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D.

Gọi P là trung điểm của $A N \Rightarrow M P / / C N, M P \subset (D M P) \Rightarrow C N / / (D M P)$

$\Rightarrow d (C N, D M) = d (C N, (D M P)) = d (N, (D M P)) = d (A, (D M P)) .$

Ta có ABCD là tứ diện đều cạnh $a \Rightarrow V_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Ta có $\frac{V_{A . D M P}}{V_{A . D B C}} = \frac{A P}{A B} . \frac{A M}{A C} = \frac{1}{8} \Rightarrow V_{A . D M P} = \frac{1}{8} V_{A . D B C} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{96} .$

Tam giác ACD đều cạnh a, có M là trung điểm của $A C \Rightarrow D M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Tam giác ABC đều cạnh a, có n là trung điểm của $A B \Rightarrow C N = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow M P = \frac{1}{2} C N = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Tam giác ADP, có $A P = \frac{a}{4}, A D = a, \hat{P A D} = 60^{0} .$

$\Rightarrow D P = \sqrt{A D^{2} + A P^{2} - 2 . A D . A P . \cos \hat{P A D}} = \frac{a \sqrt{13}}{4} .$

Đặt $p = \frac{D M + D P + M P}{2} = \frac{a (\sqrt{13} + 3 \sqrt{3})}{8} .$

$\Rightarrow S_{Δ D M P} = \sqrt{p (p - D M) (p - D P) (p - M P)} = \frac{a^{2} \sqrt{35}}{32}$

Lại có $V_{A . D M P} = \frac{1}{3} S_{Δ D M P} . d (A, (D M P)) \Rightarrow d (A, (D M P)) = \frac{3 V_{A . D M P}}{V_{Δ D M P}} = \frac{3 . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{96}}{\frac{a^{2} \sqrt{35}}{32}} = \frac{a \sqrt{70}}{35} .$

Vậy $d (C N, D M) = \frac{a \sqrt{70}}{35} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Với a,b là các số thực dương tùy ý và $a \neq 1 .$ Ta có $\log_{a^{2}} b$ bằng

A. $\frac{1}{2} + \log_{a} b .$

B. $2 + \log_{a} b .$

C. $\frac{1}{2} \log_{a} b .$

D. $2 \log_{a} b .$

Lời giải

Chọn C.

Ta có $\log_{a^{2}} b = \frac{1}{2} \log_{a} b .$

Câu 2

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a Khối trụ tròn xoay có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai tam giác đều ABC và A’B’C’ có thể tích bằng

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{π a^{3}}{9} .$

C. $π a^{3} .$

D. $\frac{π a^{3}}{3} .$

Lời giải

Chọn D.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là: $R = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

Bán kính đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác đều ABC và A’B’C’ chính là bán kính đáy khối trụ: $R = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$ Thể tích khối trụ tròn xoay cần tìm $V = π R^{2} h = π . {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2} . a = \frac{π a^{3}}{3} .$