Cho một mô hình tứ diện đều ABCD cạnh 1 và vòng tròn thép có bán kính R Hỏi có thể cho mô hình tứ diện trên đi qua vòng tròn đó (bỏ qua bề dày của vòng tròn) thì bán kính R nhỏ nhất gần với số nào trong các số sau?

Chọn D.

Gọi tứ diện đều là ABCD rõ ràng nếu bán kính R của vòng thép bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ta có thể cho mô hình tứ diện đi qua được vòng tròn, do đó ta chỉ cần xét các vòng tròn có bán kính không lớn hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

Đưa đỉnh C qua vòng thép và đặt đỉnh A lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh BC và CD lần lượt tại M và N có thể thấy trong trường hợp này ta luôn đưa được mô hình tứ diện qua vòng thép bằng cách cho đỉnh A đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh B hoặc D

Do vậy để tìm vòng thép có bán kính nhỏ nhất ta chỉ cần tìm các điểm M,N lần lượt trên các cạnh BC,CD sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN nhỏ nhất.

Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác AMN cân tại A

Đặt $CM=x,\left(0<x<1\right),$ ta có $MN = CM = CN = x.$

$A{M}^2=C{M}^2+C{A}^2-2CM.CA.\cos {60}^0=x^2+1-2x.\frac{1}{2}=x^2-x+1\Rightarrow AM=\sqrt{x^2-x+1}$

$AN=AM=\sqrt{x^2-x+1}.$

Ta có

$$\begin{gathered} \cos \widehat{MAN}=\frac{A{M}^2+A{N}^2-M{N}^2}{2.AM.AN}=\frac{2\left(x^2-x+1\right)-x^2}{2\left(x^2-x+1\right)}=\frac{x^2-2x+2}{2\left(x^2-x+1\right)} \\ \sin \widehat{MAN}=\sqrt{1-{\left(\frac{x^2-2x+2}{2\left(x^2-x+1\right)}\right)}^2}=\frac{\sqrt{x^2\left(3x^2-4x+4\right)}}{2\left(x^2-x+1\right)} \end{gathered}$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là

$R_{AMN}=\frac{MN}{2\sin \widehat{MAN}}=\frac{x^2-x+1}{\sqrt{3x^2-4x+4}}$

R chính là giá trị nhỏ nhất của $R_{AMN}$ trên khoảng (0;1)

Xét $f\left(x\right)=\frac{x^2-x+1}{\sqrt{3x^2-4x+4}},x\in \left(0;1\right),$ sử dụng Casio ta được giá trị nhỏ nhất gần đúng của f(x) là 0,4478.

Vậy giá trị nhỏ nhất mà R có thể nhận được gần với 0,448.