Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau, các đỉnh A,B,C thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài l các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?

Chọn D.

Gọi D là trung điểm của đoạn AB kẻ $OI\perp SD,$ dễ dàng chứng minh được $OI\perp \left(SAB\right).$

Suy ra I là tâm đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt phẳng (SAB). Gọi M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn (C) với SB,SA; K là trung điểm của MB

Giả sử AB=a theo giả thiết ta suy ra $OC=1\iff \frac{a\sqrt{3}}{2}=1\iff a=\sqrt{3}.$

Ta có $SD=CD=\frac{3}{2},OD=\frac{1}{2},SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{2},OI=\frac{SO.OD}{SD}=\frac{\sqrt{2}}{3},$

$ID=\frac{O{D}^2}{SD}=\frac{1}{6},SI=\frac{4}{3}.$

Gọi r là bán kính đường tròn (C) khi đó $r=\sqrt{1-O{I}^2}=\frac{\sqrt{7}}{3}.$

Ta có tam giác SIK vuông tại K và góc $\angle ISK={30}^0$ suy ra $IK=\frac{1}{2}IS=\frac{2}{3}$

Xét tam giác MIK có $\cos I=\frac{IK}{IM}=\frac{2}{\sqrt{7}}\Rightarrow I\approx {28}^0\Rightarrow \angle MIN\approx {64}^0$

Khi đó chiều dài cung MN bằng $\frac{64}{180}.\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{16\sqrt{7}}{135}.$ Vậy tổng độ dài l, các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp là $l=\frac{16\sqrt{7}}{45}\approx 0,94.$