Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;−1;1) và C(−1;−1;1). Gọi (S1) là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; (S2) và (S3) là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính bằng 1. Hỏi có bao...

Đáp án BGọi phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là ax+by+cz+d=0 (điều kiện a2+b2+c2>0).Khi đó ta có hệ điều kiện sau:dA;P=2dB;P=1dC;P=1⇔a+2b+c+da2+b2+c2=23a−b+c+da2+b2+c2=1−a−b+c+da2+b2+c2=1⇔a+2b+c+d=2a2+b2+c23a−b+c+d=2a2+b2+c2−a−b+c+d=2a2+b2+c2Khi đó ta có: 3a−b+c+d=−a−b+c+d⇔3a−b+c+d=−a−b+c+d3a−b+c+d=a+b−c−d⇔a=0a−b+c+d=0Với a = 0 thì2b+c+d=2b2+c22b+c+d=2−b+c+d⇔2b+c+d=2b2+c24b−c−d=0c+d=0⇔c=d=0,b≠0c+d=4b,c=±22b.Do đó có 3 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.Với a−b+c+d=0 thì ta có3b=2a2+b2+c22a=a2+b2+c2⇔3b=4a2a=a2+b2+c2⇔b=43ac=113a.Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Câu hỏi:

25/10/2021 5,869

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;−1;1) và C(−1;−1;1). Gọi (S₁) là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; (S₂) và (S₃) là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S₁), (S₂), (S₃)?

A. 5.

B. 7.

C. 6.

D. 8.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Gọi phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là $a x + b y + c z + d = 0$ (điều kiện $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0$ ).

Khi đó ta có hệ điều kiện sau:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} d (A; (P)) = 2 \\ d (B; (P)) = 1 \\ d (C; (P)) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{|a + 2 b + c + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 2 \\ \frac{|3 a - b + c + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 1 \\ \frac{|- a - b + c + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} |a + 2 b + c + d| = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\ |3 a - b + c + d| = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\ |- a - b + c + d| = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \end{cases} \end{array}$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} |3 a - b + c + d| = |- a - b + c + d| \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 a - b + c + d = - a - b + c + d \\ 3 a - b + c + d = a + b - c - d \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ a - b + c + d = 0 \end{array} \end{array}$

Với a = 0 thì

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} |2 b + c + d| = 2 \sqrt{b^{2} + c^{2}} \\ |2 b + c + d| = 2 |- b + c + d| \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} |2 b + c + d| = 2 \sqrt{b^{2} + c^{2}} \\ 4 b - c - d = 0 \\ c + d = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = d = 0, b \neq 0 \\ c + d = 4 b, c = \pm 2 \sqrt{2} b \end{array} . \end{array}$

Do đó có 3 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Với $a - b + c + d = 0$ thì ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} |3 b| = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\ |2 a| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} |3 b| = 4 |a| \\ |2 a| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |b| = \frac{4}{3} |a| \\ |c| = \frac{\sqrt{11}}{3} |a| \end{array} . \end{array}$

Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^{2} (|x|) + (m - 2) f (|x|) + m - 3 = 0$ có 6 nghiệm phân biệt?

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

Đáp án C

Phương trình $f^{2} (|x|) + (m - 2) f (|x|) + m - 3 = 0$ .

$\Leftrightarrow (f (|x|) + 1) (f (|x|) + m - 3) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (|x|) = - 1 (1) \\ f (|x|) = 3 - m (2) \end{cases}$ .

Từ đồ thị hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ta vẽ được đồ thị hàm số y = f(|x|).

Cho hàm số y = f(x) = ax^2 +bx+c có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao (ảnh 2)

Từ đồ thị hàm số, suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm.

Để phương trình $f^{2} (|x|) + (m - 2) f (|x|) + m - 3 = 0$ có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt khi đó $- 1 < 3 - m < 3 \Leftrightarrow 0 < m < 4$

Do $m \in ℤ$ nên có 3 giá trị m thỏa mãn.

Câu 2

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm là:

A. $V = \frac{1}{9} (m^{3}) .$

B. $V = \frac{2}{9} (m^{3}) .$

C. $V = \frac{4}{27} (m^{3}) .$

D. $V = \frac{2}{27} (m^{3}) .$

Lời giải

Đáp án D

Giả sử mỗi góc ta cắt đi một hình vuông cạnh x(m).

Khi đó chiều cao của hộp là x(m) với $0 < x < \frac{1}{2}$ và cạnh đáy của hộp là (1−2x)(m).

Thể tích của hộp là $V = x {(1 - 2 x)}^{2} (m^{3})$ .

Xét hàm số $f (x) = x {(1 - 2 x)}^{2}$ .

Ta có:

$f' (x) = 1 - 8 x + 12 x^{2}, f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{6} \\ x = \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow x = \frac{1}{6} \in (0; \frac{1}{2})$

Ta có bảng biến thiên f(x) như sau:

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp (ảnh 2)

Vậy thể tích cần tìm là: $V = \frac{2}{27} m^{3}$ .

Câu 3

Hàm số $y = \log_{7} (3 x + 1)$ có tập xác định là:

A. $(- \frac{1}{3}; + \infty) .$

B. $(- \infty; - \frac{1}{3}) .$

C. $(0; + \infty) .$

D. $[- \frac{1}{3}; + \infty) .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho $\log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{5}) = a$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\log_{2} 25 + \log_{2} \sqrt{5} = \frac{5 a}{2} .$

B. $\log_{2} 5 = - a .$

C. $\log_{5} 4 = - \frac{2}{a} .$

D. $\log_{2} \frac{1}{5} + \log_{2} \frac{1}{25} = 3 a .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho a là số thực dương a≠1. Biết bất phương trình $2 \log_{a} x \leq x - 1$ có nghiệm đúng với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a \in (7; 8) .$

B. $a \in (3; 5] .$

C. $a \in (2; 3) .$

D. $a \in (8; + \infty) .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;2) và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ . Từ điểm A kẻ 3 tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu (S), trong đó B, C, D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

A. $2 x + 2 y + z - 5 = 0.$

B. $2 x + 2 y + z + 1 = 0.$

C. $2 x + 2 y + z - 1 = 0.$

D. $2 x + 2 y + z - 3 = 0.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y=fx=ax2+bx+c có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f2x+m−2fx+m−3=0 có 6 nghiệm phân biệt?

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm là:

Hàm số y=log73x+1 có tập xác định là:

Cho log1215=a. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho a là số thực dương a≠1. Biết bất phương trình 2logax≤x−1 có nghiệm đúng với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;2) và mặt cầu S:x2+y2+z−12=4. Từ điểm A kẻ 3 tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu (S), trong đó B, C, D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^{2} (|x|) + (m - 2) f (|x|) + m - 3 = 0$ có 6 nghiệm phân biệt?

Hàm số $y = \log_{7} (3 x + 1)$ có tập xác định là:

Cho $\log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{5}) = a$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho a là số thực dương a≠1. Biết bất phương trình $2 \log_{a} x \leq x - 1$ có nghiệm đúng với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;2) và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ . Từ điểm A kẻ 3 tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu (S), trong đó B, C, D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng (BCD) là: