Biết đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{13x-9}{x^2+1}$ có hai điểm cực trị. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 

Chọn C.

Ta có: $y\text{'}=\frac{-13x^2+18x+13}{{\left(x^2+1\right)}^2}.$

Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$.

Khi đó $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $y\text{'}=0\iff -13x^2+18x+13=0.$

Mặt khác, ta có nếu $f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)-u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right)}{v^2\left(x\right)}$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)-u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right)=0\iff \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}=\frac{u\text{'}\left(x\right)}{v\text{'}\left(x\right)}$

Có $y_{CT}=\frac{u\left(x_{CT}\right)}{v\left(x_{CT}\right)}=\frac{u\text{'}\left(x_{CT}\right)}{v\text{'}\left(x_{CT}\right)}$

Áp dụng lý thuyết trên ta có hai điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc đường cong $y=\frac{\left(13x-9\right)\text{'}}{\left(x^2+1\right)\text{'}}=\frac{13}{2x}.$

Do đó: $y=\frac{\left(13x-9\right)\text{'}}{\left(x^2+1\right)\text{'}}=\frac{13}{2x}.$

Tương tự: $y_1=\frac{13}{2x_1}=\frac{13-\left(-13x_1^2+18x_1+13\right)}{2x_1}=\frac{13x_1^2-18x_1}{2x_1}=\frac{13}{2}{x}_1-9$

Nên A, B thuộc đường thẳng $\left(d\right):y=\frac{13}{2}x-9$ hay đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B là $\left(d\right):y=\frac{13}{2}x-9\iff 13x-2y-18=0$

Vậy $d\left(O,AB\right)=\frac{\left|-18\right|}{\sqrt{{13}^2+2^2}}=\frac{18}{\sqrt{173}}.$