Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[e;e^2\right]$. Biết $x^2{f}^{\text{'}}\left(x\right)\cdot \ln x-xf\left(x\right)+{\ln }^{2}x=0,\forall x\in \left[e;e^2\right]$ và $f\left(e\right)=\frac{1}{e}$. Tính tích phân $I=\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

Đường thẳng $d_1$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(2;-1;1\right)$; $d_2$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(-1;2;0\right)$.
Ta có: $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{u_2};\overrightarrow{u_1}\right]=\left(2;1;-3\right)$.
Vì đường thẳng $\Delta$ đi qua A, vuông góc với cả $d_1$ và $d_2$ nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;1;-3\right)$ làm véctơ chỉ phương, do đó $\Delta$ có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2+t\\ z=3-3t\end{array}\right.$.

Chọn đáp án A

Đường thẳng $d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_{d_1}}=\left(1;0;-1\right)$.
Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với $d_1\Rightarrow \left(P\right):x-2-z+1=0\iff x-z-1=0$
Gọi B là giao điểm của (P) và $d_2.$ Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t^{\text{'}}\\ y=3+t^{\text{'}}\\ z=0\\ x-z-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{\text{'}}=-1\\ x=1\\ y=2\\ z=0\end{array}\right.\Rightarrow B\left(1;2;0\right)$.
Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;-1\right)$ hay VTCP của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;1\right)$
Đường thẳng cần tìm đi qua $B\left(1;2;0\right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;1\right)$
Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$.
Cách 2: (AD: Nguyễn Văn Thịnh)
Gọi $\Delta$là đường thẳng cần tìm. $\Delta$ cắt $d_2$ tại B.
Ta có $B\in d_2\Rightarrow B\left(3+2t^{\text{'}};3+t^{\text{'}};0\right)$.
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(1+2t^{\text{'}};2+t^{\text{'}};-1\right)$, $d_1$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;0;-1\right)$.
Ta có $\Delta \perp d_1\iff \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{u_1}\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\iff 1+2t^{\text{'}}+0+1=0\iff t^{\text{'}}=-1$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;-1\right)$
Đường thẳng cần tìm đi qua $B\left(1;2;0\right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;1\right)$
Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$.

Chọn đáp án D