Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\text{'}}$ xuống mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là trung điểm của $AB$. Mặt bên $\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$ tạo với đáy một góc bằng $\alpha$. Biết thể tích khối lăng trụ bằng $\frac{3a^3}{16}$ , khi đó $\alpha$ bằng

Đáp án A.

Gọi $x\left(x>0\right)$ chiều rộng của đáy bể.

+ Chiều dài của đáy bể là $2x$ .

+ Chiều cao của bể là $\frac{\mathrm{0,144}}{x^2}$ .

-        Diện tích cần xây $2x^2+\frac{\mathrm{0,864}}{x}$ .

Xét $f\left(x\right)=2x^2+\frac{\mathrm{0,864}}{x}$  .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x-\frac{\mathrm{0,864}}{x^2}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=\mathrm{0,6}$ .

-        Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có $\min f\left(x\right)=\mathrm{2,16}$ .

Vậy chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây bể là 2,16.500000 = 1080000 đồng.

Đáp án D.

Cách 1. Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left(C\right):{\left(x-5\right)}^2+y^2=25$ .

Ta có ${\left(x-5\right)}^2+y^2=25\iff y=\pm \sqrt{25-{\left(x-5\right)}^2}=\pm \sqrt{10x-x^2}$

 $\Rightarrow$Nửa trên trục $Ox$ của $\left(C\right)$ có phương trình $y=\sqrt{10x-x^2}$

Nếu cho nửa trên trục $Ox$ của $\left(C\right)$  quay quanh trục $Ox$ ta được mặt cầu bán kính bằng 5.

Nếu cho hình phẳng $\left(H\right)$  giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{10x-x^2}$ , trục $Ox$ , hai đường thẳng $x=0;x=2$  quay quanh trục $Ox$  ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

 $\Rightarrow$Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $\left(H\right)$ quay quanh $Ox$  là $V_1=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(10x-x^2\right)dx=\pi {\left(5x^2-\frac{x^3}{3}\right)}_0^2=\frac{52\pi }{3}$

Thể tích khối cầu là $V_2=\frac{4}{3}\pi {.5}^3=\frac{500\pi }{3}$

Thể tích chiếc lu là $V=V_2-2V_1=\frac{500\pi }{3}-2.\frac{52\pi }{3}=132\pi \left(d{m}^3\right)$ .

Cách 2. Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích $V_1=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=\frac{52\pi }{3}$  với $R=5dm,h=2dm$ .

Thể tích khối cầu là $V_2=\frac{4}{3}\pi {.5}^3=\frac{500\pi }{3}$ .

Vậy thể tích của chếc lu là $V=V_2-2V_1=132\pi$ .