Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 dm³. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng / m³. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó phải trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Đáp án D.

Cách 1. Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left(C\right):{\left(x-5\right)}^2+y^2=25$ .

Ta có ${\left(x-5\right)}^2+y^2=25\iff y=\pm \sqrt{25-{\left(x-5\right)}^2}=\pm \sqrt{10x-x^2}$

 $\Rightarrow$Nửa trên trục $Ox$ của $\left(C\right)$ có phương trình $y=\sqrt{10x-x^2}$

Nếu cho nửa trên trục $Ox$ của $\left(C\right)$  quay quanh trục $Ox$ ta được mặt cầu bán kính bằng 5.

Nếu cho hình phẳng $\left(H\right)$  giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{10x-x^2}$ , trục $Ox$ , hai đường thẳng $x=0;x=2$  quay quanh trục $Ox$  ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

 $\Rightarrow$Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $\left(H\right)$ quay quanh $Ox$  là $V_1=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(10x-x^2\right)dx=\pi {\left(5x^2-\frac{x^3}{3}\right)}_0^2=\frac{52\pi }{3}$

Thể tích khối cầu là $V_2=\frac{4}{3}\pi {.5}^3=\frac{500\pi }{3}$

Thể tích chiếc lu là $V=V_2-2V_1=\frac{500\pi }{3}-2.\frac{52\pi }{3}=132\pi \left(d{m}^3\right)$ .

Cách 2. Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích $V_1=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=\frac{52\pi }{3}$  với $R=5dm,h=2dm$ .

Thể tích khối cầu là $V_2=\frac{4}{3}\pi {.5}^3=\frac{500\pi }{3}$ .

Vậy thể tích của chếc lu là $V=V_2-2V_1=132\pi$ .

Đáp án B.

Từ hình dáng đồ thị ta có $a>0$ . Loại phương án A, D.

Mặt khác, đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x=-1\Rightarrow$  Chỉ có $y=x^3+3x^2-2$  thỏa mãn.