Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[-2019;2019\right]$ của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2+x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

Chọn D

Xét hàm số $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2+x-m}.$

+) TXĐ: $D=\left[3;+\infty \right)$

+)$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x-3}}{x^2+x-m}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^4}}}{1+\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}}=0.$ Do đó ĐTHS có $1$ tiệm cận ngang $y=0.$

+) Để ĐTHS có $2$ đường tiệm cận thì phải có thêm $1$ tiệm cận đứng. Vậy yêu cầu bài toán trở thành: Tìm điều kiện để phương trình $x^2+x-m=0$ phải có $1$ nghiệm lớn hơn hoặc bằng $3$

Trường hợp $1$: Phương trình $x^2+x-m=0$ phải có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<3<x_2.$

$\iff a.f\left(3\right)<0\iff 12-m<0\iff m>12.$

Trường hợp $2$: Phương trình $x^2+x-m=0$ có nghiệm $x=3$ thì $m=12.$

Với $m=12$ phương trình trở thành: $x^2+x-12=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-4\end{array}\right.$( tmđk)

Trường hợp $3$: Phương trình $x^2+x-m=0$ có nghiệm kép $x>3.$

Khi $m=\frac{-1}{4}$ thì phương trình có nghiệm $x=\frac{-1}{2}.$(không thỏa mãn)

Theo đề bài $m\in \left[-2019;2019\right]$, $m$ nguyên do đó $m\in \left[12;2019\right].$

Vậy có $(2019-12)+1=2008$ giá trị của $m$.

Ý kiến phản biện:

Có thể nhận xét phương trình $x^2+x-m=0\left(1\right)$ nếu có nghiệm thì $x_1+x_2=-1$ do đó $\left(1\right)$ luôn có ít nhất một nghiệm âm. Vậy đk bài toán chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi $1$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1<0<3\le x_2\iff af\left(3\right)\le 0\iff m\ge 12.$