Giả sử z1,z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z−68+zi¯ là số thực. Biết rằng z1−z2=4, giá trị nhỏ nhất của z1+3z2 bằng A. 20−421 B. 20−422 C. 5−22 D. 5−21

Giả sử z=x+yi, x,y∈ℝ.Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1,z2 . Suy ra AB=z1−z2=4.* Ta có z−68+zi¯=x−6+yi.8−y−xi=8x+6y−48−x2+y2−6x−8yi. Theo giả thiết z−68+zi¯ là số thực nên ta suy ra x2+y2−6x−8y=0. Tức là các điểm A,B thuộc đường tròn C tâm I3;4, bán kính R=5.* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA→+3MB→=0→⇔OA→+3OB→=4OM→.Gọi H là trung điểm AB.Ta có HA=HB=AB2=2 và MA=34AB=3⇒HM=MA−HA=1.Từ đó HI2=R2−HB2=21, IM=HI2+HM2=22, suy ra điểm M thuộc đường tròn C' tâm I3;4 , bán kính r=22.* Ta có z1+3z2=OA→+3OB→=4OM→=4OM, do đó z1+3z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.Ta có OMmin=OM0=OI−r=5−22.Vậy z1+3z2min=4OM0=20−422. Chọn đáp án B

Câu hỏi:

20/04/2022 783

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $(z - 6) (8 + \bar{z i})$ là số thực. Biết rằng $|z_{1} - z_{2}| = 4$ , giá trị nhỏ nhất của $|z_{1} + 3 z_{2}|$ bằng

A. $20 - 4 \sqrt{21}$

B. $20 - 4 \sqrt{22}$

C. $5 - \sqrt{22}$

D. $5 - \sqrt{21}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn (z-6)(8+zi) là số thực (ảnh 1)

Giả sử

z = x + y i

x, y \in ℝ

.Gọi

A, B

lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức

z_{1}, z_{2}

. Suy ra

A B = |z_{1} - z_{2}| = 4

.
* Ta có

(z - 6) (8 + \bar{z i}) = [(x - 6) + y i] . [(8 - y) - x i] = (8 x + 6 y - 48) - (x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y) i

. Theo giả thiết

(z - 6) (8 + \bar{z i})

là số thực nên ta suy ra

x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0

. Tức là các điểm

A, B

thuộc đường tròn

(C)

tâm

I (3; 4)

, bán kính

R = 5

.
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa

\vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O A} + 3 \vec{O B} = 4 \vec{O M}

.
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có

H A = H B = \frac{A B}{2} = 2

và

M A = \frac{3}{4} A B = 3 \Rightarrow H M = M A - H A = 1

.
Từ đó

H I^{2} = R^{2} - H B^{2} = 21

I M = \sqrt{H I^{2} + H M^{2}} = \sqrt{22}

, suy ra điểm M thuộc đường tròn

(C^{'})

tâm

I (3; 4)

, bán kính

r = \sqrt{22}

.
* Ta có

|z_{1} + 3 z_{2}| = |\vec{O A} + 3 \vec{O B}| = |4 \vec{O M}| = 4 O M

, do đó

|z_{1} + 3 z_{2}|

nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có

O M_{\min} = O M_{0} = |O I - r| = 5 - \sqrt{22}

.
Vậy

{|z_{1} + 3 z_{2}|}_{\min} = 4 O M_{0} = 20 - 4 \sqrt{22}

Chọn đáp án B

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Nếu $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{3} 3 f (x) d x$ bằng

A. 6

B. 8

C. 4

D. 2

Lời giải

Ta có:

\int_{1}^{3} 3 f (x) d x = 3 \int_{1}^{3} f (x) d x = 6

Chọn đáp án A

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới (ảnh 2)

Ta thấy hàm số có điểm cực trị là $x = 0; x = 1.$

Chọn đáp án A

Câu 3

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16$ là

A. 3

B. 5

C. 6

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Biết đường thẳng $y = 3 x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ . Tính độ dài đoạn thẳng AB?

A. $A B = 4 \sqrt{2}$

B. $A B = 4 \sqrt{15}$

C. $A B = 4 \sqrt{10}$

D. $A B = 4 \sqrt{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $3 \log a + 2 \log b = 1$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $3 a + 2 b = 10$

B. $a^{3} b^{2} = 10$

C. $a^{3} + b^{2} = 10$

D. $a^{3} + b^{2} = 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.

A. $V = 12 a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = 6 a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = 24 a^{3} \sqrt{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $30 °$

D. $90 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Giả sử z1,z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z−68+zi¯ là số thực. Biết rằng z1−z2=4, giá trị nhỏ nhất của z1+3z2 bằng

Nếu ∫13fxdx=2 thì ∫133fxdx bằng

Cho hàm số y=fx liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x2+3x≤16 là

Biết đường thẳng y=3x+1 cắt đồ thị hàm số y=2x2−2x+3x−1 tại hai điểm phân biệt A,B. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 3loga+2logb=1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $(z - 6) (8 + \bar{z i})$ là số thực. Biết rằng $|z_{1} - z_{2}| = 4$ , giá trị nhỏ nhất của $|z_{1} + 3 z_{2}|$ bằng

Nếu $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{3} 3 f (x) d x$ bằng

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16$ là

Biết đường thẳng $y = 3 x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ . Tính độ dài đoạn thẳng AB?

Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $3 \log a + 2 \log b = 1$ Mệnh đề nào sau đây đúng?