Giả sử z1,z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z−68+zi¯ là số thực. Biết rằng z1−z2=4, giá trị nhỏ nhất của z1+3z2 bằng A. 20−421 B. 20−422 C. 5−22 D. 5−21

Giả sử z=x+yi, x,y∈ℝ.Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1,z2 . Suy ra AB=z1−z2=4.* Ta có z−68+zi¯=x−6+yi.8−y−xi=8x+6y−48−x2+y2−6x−8yi. Theo giả thiết z−68+zi¯ là số thực nên ta suy ra x2+y2−6x−8y=0. Tức là các điểm A,B thuộc đường tròn C tâm I3;4, bán kính R=5.* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MA→+3MB→=0→⇔OA→+3OB→=4OM→.Gọi H là trung điểm AB.Ta có HA=HB=AB2=2 và MA=34AB=3⇒HM=MA−HA=1.Từ đó HI2=R2−HB2=21, IM=HI2+HM2=22, suy ra điểm M thuộc đường tròn C' tâm I3;4 , bán kính r=22.* Ta có z1+3z2=OA→+3OB→=4OM→=4OM, do đó z1+3z2 nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.Ta có OMmin=OM0=OI−r=5−22.Vậy z1+3z2min=4OM0=20−422. Chọn đáp án B

Câu hỏi:

20/04/2022 702

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $(z - 6) (8 + \bar{z i})$ là số thực. Biết rằng $|z_{1} - z_{2}| = 4$ , giá trị nhỏ nhất của $|z_{1} + 3 z_{2}|$ bằng

A. $20 - 4 \sqrt{21}$

B. $20 - 4 \sqrt{22}$

Đáp án chính xác

C. $5 - \sqrt{22}$

D. $5 - \sqrt{21}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn (z-6)(8+zi) là số thực (ảnh 1)

Giả sử

z = x + y i

,

x, y \in ℝ

.Gọi

A, B

lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức

z_{1}, z_{2}

. Suy ra

A B = |z_{1} - z_{2}| = 4

.
* Ta có

(z - 6) (8 + \bar{z i}) = [(x - 6) + y i] . [(8 - y) - x i] = (8 x + 6 y - 48) - (x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y) i

. Theo giả thiết

(z - 6) (8 + \bar{z i})

là số thực nên ta suy ra

x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y = 0

. Tức là các điểm

A, B

thuộc đường tròn

(C)

tâm

I (3; 4)

, bán kính

R = 5

.
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa

\vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O A} + 3 \vec{O B} = 4 \vec{O M}

.
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có

H A = H B = \frac{A B}{2} = 2

và

M A = \frac{3}{4} A B = 3 \Rightarrow H M = M A - H A = 1

.
Từ đó

H I^{2} = R^{2} - H B^{2} = 21

,

I M = \sqrt{H I^{2} + H M^{2}} = \sqrt{22}

, suy ra điểm M thuộc đường tròn

(C^{'})

tâm

I (3; 4)

, bán kính

r = \sqrt{22}

.
* Ta có

|z_{1} + 3 z_{2}| = |\vec{O A} + 3 \vec{O B}| = |4 \vec{O M}| = 4 O M

, do đó

|z_{1} + 3 z_{2}|

nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có

O M_{\min} = O M_{0} = |O I - r| = 5 - \sqrt{22}

.
Vậy

{|z_{1} + 3 z_{2}|}_{\min} = 4 O M_{0} = 20 - 4 \sqrt{22}

.

Chọn đáp án B

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Nếu $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{3} 3 f (x) d x$ bằng

A. 6

B. 8

C. 4

D. 2

Xem đáp án » 20/04/2022 3,921

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án » 20/04/2022 2,591

Câu 3:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16$ là

A. 3

B. 5

C. 6

D. 4

Xem đáp án » 20/04/2022 1,190

Câu 4:

Biết đường thẳng $y = 3 x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ . Tính độ dài đoạn thẳng AB?

A. $A B = 4 \sqrt{2}$

B. $A B = 4 \sqrt{15}$

C. $A B = 4 \sqrt{10}$

D. $A B = 4 \sqrt{6}$

Xem đáp án » 20/04/2022 1,014

Câu 5:

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.

A. $V = 12 a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = 6 a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = 24 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án » 20/04/2022 808

Câu 6:

Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $3 \log a + 2 \log b = 1$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $3 a + 2 b = 10$

B. $a^{3} b^{2} = 10$

C. $a^{3} + b^{2} = 10$

D. $a^{3} + b^{2} = 1$

Xem đáp án » 20/04/2022 802

Câu 7:

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ có đồ thị (P). Xét các điểm $A, B$ thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng $\frac{9}{4}$ . Gọi $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của ${(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2}$ bằng :

A. 11

B. 7

C. 5

D. 13

Xem đáp án » 20/04/2022 774

Xem thêm các câu hỏi khác »

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $(z - 6) (8 + \bar{z i})$ là số thực. Biết rằng $|z_{1} - z_{2}| = 4$ , giá trị nhỏ nhất của $|z_{1} + 3 z_{2}|$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Nếu $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{3} 3 f (x) d x$ bằng

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16$ là

Biết đường thẳng $y = 3 x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ . Tính độ dài đoạn thẳng AB?

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.

Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $3 \log a + 2 \log b = 1$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Giả sử z1,z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z−68+zi¯ là số thực. Biết rằng z1−z2=4, giá trị nhỏ nhất của z1+3z2 bằng

Nhà sách VIETJACK:

Nếu ∫13fxdx=2 thì ∫133fxdx bằng

Cho hàm số y=fx liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x2+3x≤16 là

Biết đường thẳng y=3x+1 cắt đồ thị hàm số y=2x2−2x+3x−1 tại hai điểm phân biệt A,B. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 3loga+2logb=1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $(z - 6) (8 + \bar{z i})$ là số thực. Biết rằng $|z_{1} - z_{2}| = 4$ , giá trị nhỏ nhất của $|z_{1} + 3 z_{2}|$ bằng

Nếu $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{3} 3 f (x) d x$ bằng

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16$ là

Biết đường thẳng $y = 3 x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ . Tính độ dài đoạn thẳng AB?

Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $3 \log a + 2 \log b = 1$ Mệnh đề nào sau đây đúng?