Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu số nguyên \(b \in \left( { - 10;10} \right)\) để có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(B\left( {0;b} \right)?\)

Đáp án C.

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x.\)

Gọi \(d\) là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) và \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm.

\(d:y - {y_0} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow d:y - \left( {x_0^3 - 3x_0^2} \right) = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right).\)

\(B\left( {0;b} \right) \in d \Leftrightarrow b - x_0^3 + 3x_0^2 = - {x_0}\left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right) \Leftrightarrow 2x_0^3 - 3x_0^2 + b = 0 \Leftrightarrow b = - 2x_0^3 + 3x_0^2.\left( 1 \right)\)

Đặt \(f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3{x^2}.\) Ta có \(f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6x.\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có duy nhất nghiệm \({x_0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b >1\\b < 0\end{array} \right..\)

Vậy có 17 số nguyên \(b \in \left( { - 10;10} \right)\) thỏa yêu cầu bài toán.