Câu hỏi:
07/05/2022 222Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\) là
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Hot: Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia Toán, Văn, Anh, Sử, Địa...., ĐGNL các trường ĐH Quốc Gia Hà Nội, Tp. Hồ Chi Minh file word có đáp án (form 2025).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D.
Theo giả thiết: \(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y\left( * \right).\)
Điều kiện: \(x \ge - 1,y \ge - 2.\)
Ta có: \(P = x + y \Leftrightarrow y = P - x,\) thế vào \(\left( * \right)\) ta được:
\(3\sqrt {x + 1} + 3\sqrt {P - x + 2} = P{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x \ge - 1.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \ge 0\\2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {P - x + 2} \right)} = \frac{{{P^2}}}{9} - P - 3\end{array} \right.\)
Để có nghiệm thì \(\frac{{{P^2}}}{9} - P - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\\P \le \frac{{9 - 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Với giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = - 1,\) suy ra:
\( \Rightarrow y = P - x = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} + 1 = \frac{{11 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Mặt khác, ta lại có:\(P = x + y \Leftrightarrow x = P - y,\) thế vào (*) ta được:
\(P = 3\sqrt {P - y + 1} + 3\sqrt {y + 2} \) \(\left( 2 \right)\)
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) để phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(y \ge - 2.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \ge 0\\2\sqrt {\left( {y + 2} \right)\left( {P - y + 1} \right)} = \frac{{{P^2}}}{9} - P - 3\end{array} \right.\)
Để có nghiệm thì \(\frac{{{P^2}}}{9} - P - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\\P \le \frac{{9 - 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Với giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(y = - 2,\) suy ra:
\( \Rightarrow x = P - y = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} + 2 = \frac{{13 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Vậy \({P_{\min }} = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = \frac{{11 + 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13 + 3\sqrt {21} }}{2}\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Nhà sách VIETJACK:
Sách - 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 Vietjack theo chương trình mới cho 2k7
Đã bán 1,3k
₫ 36.000
₫ 18.000
Combo - Sách 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay ôn thi 2025 môn Toán (3 quyển) - Mới nhất cho 2k7
Đã bán 386
₫ 110.000
₫ 55.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Anh Thưởng dự định sử dụng hết \(4{m^2}\) kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép không đáng kể). Bể cá có dung tích bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số phần trăm).
Xem đáp án »
07/05/2022
25,538
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( {0;20} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 3m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 6} \right)?\)
Xem đáp án »
14/06/2022
7,001
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 2} \right)^3},\forall x \in \mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Xem đáp án »
07/05/2022
4,439
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Xem đáp án »
07/05/2022
4,380
Câu 6:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right].\)
Xem đáp án »
07/05/2022
4,104
Câu 7:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^{2020}}\left( {{\pi ^{2x}} - {\pi ^x} + 2021} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\) Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có đúng ba điểm cực trị \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50.\) Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng
Xem đáp án »
07/05/2022
3,618
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải
-
50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải
-
50 bài tập Hình học không gian có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận