Câu hỏi:
07/05/2022 175Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\) là
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án D.
Theo giả thiết: \(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y\left( * \right).\)
Điều kiện: \(x \ge - 1,y \ge - 2.\)
Ta có: \(P = x + y \Leftrightarrow y = P - x,\) thế vào \(\left( * \right)\) ta được:
\(3\sqrt {x + 1} + 3\sqrt {P - x + 2} = P{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x \ge - 1.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \ge 0\\2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {P - x + 2} \right)} = \frac{{{P^2}}}{9} - P - 3\end{array} \right.\)
Để có nghiệm thì \(\frac{{{P^2}}}{9} - P - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\\P \le \frac{{9 - 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Với giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = - 1,\) suy ra:
\( \Rightarrow y = P - x = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} + 1 = \frac{{11 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Mặt khác, ta lại có:\(P = x + y \Leftrightarrow x = P - y,\) thế vào (*) ta được:
\(P = 3\sqrt {P - y + 1} + 3\sqrt {y + 2} \) \(\left( 2 \right)\)
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) để phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(y \ge - 2.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \ge 0\\2\sqrt {\left( {y + 2} \right)\left( {P - y + 1} \right)} = \frac{{{P^2}}}{9} - P - 3\end{array} \right.\)
Để có nghiệm thì \(\frac{{{P^2}}}{9} - P - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\\P \le \frac{{9 - 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P \ge \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Với giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2}\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(y = - 2,\) suy ra:
\( \Rightarrow x = P - y = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} + 2 = \frac{{13 + 3\sqrt {21} }}{2}.\)
Vậy \({P_{\min }} = \frac{{9 + 3\sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = \frac{{11 + 3\sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13 + 3\sqrt {21} }}{2}\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Anh Thưởng dự định sử dụng hết \(4{m^2}\) kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép không đáng kể). Bể cá có dung tích bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số phần trăm).
Xem đáp án »
07/05/2022
23,657
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( {0;20} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 3m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 6} \right)?\)
Xem đáp án »
14/06/2022
6,578
Câu 3:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Xem đáp án »
07/05/2022
4,291
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 2} \right)^3},\forall x \in \mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Xem đáp án »
07/05/2022
4,084
Câu 6:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^{2020}}\left( {{\pi ^{2x}} - {\pi ^x} + 2021} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\) Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có đúng ba điểm cực trị \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50.\) Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng
Xem đáp án »
07/05/2022
3,524
Câu 7:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right].\)
Xem đáp án »
07/05/2022
3,456
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (đề 1)
-
Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2023 có đáp án
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 3)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán mới nhất cực hay có lời giải (Đề 1)
về câu hỏi!