Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x-m}{x+2}$ (m là tham số). Để $\underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=\frac{1}{3}$ thì $m=\frac{a}{b}\left(a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N},b>0\right).$ Tổng a + b bằng

Phương pháp:

- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đạt GTNN trên các đoạn mà hàm số xác định tại các điểm đầu mút.

Cách giải:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}\Rightarrow$ Hàm số xác định trên [-1; 1]

Ta có $f\left(x\right)=\frac{2x-m}{x+2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{4+m}{{\left(x+2\right)}^2}.$

TH1: Nếu $m>-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)>0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số đồng biến trên [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-1\right)=\frac{-2-m}{1}$

Theo bài ra ta có: $\frac{-2-m}{1}=\frac{1}{3}\iff m=-\frac{7}{3}\left(tm\right).$

$\Rightarrow a=-7,b=3$ nên $a+b=-7+3=-4.$

TH2: Nếu $m<-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)<0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số nghịch biến trên [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=\frac{2-m}{3}$

Theo bài ra ta có: $\frac{2-m}{3}=\frac{1}{3}\iff m=1\left(ktm\right).$

TH3: Nếu $m=-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số là hàm hằng [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(x\right)=\frac{2x+4}{x+2}=2\Rightarrow a=-4,b=1\Rightarrow a+b=-3.$

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án D đúng.

Chọn D.