Cho hình chóp S ABC  có SA ^ ( ABC ), tam giác ABC vuông tại B , SA = BC = a , AC = 2 a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ 

Tách các bộ số chia hết cho 3, chia 3 dư 1 và chia 3 dư 2.

Bước 2: Xét các trường hợp bộ số chia hết cho 3

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c=\text{{}3;6;9\}$

+) $a,b,c\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{1;4;7\right\}$ 

+) $a,b,c\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{2;5;8\right\}$.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Giải chi tiết:

Bước 1:

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

Từ các số bài cho ta chia thành 3 bộ số:

+ Bộ số chia hết cho 3 là: 3; 6; 9

+ Bộ số chia cho 3 dư 1 là: 1; 4; 7

+ Bộ số chia cho 3 dư 2 là: 2; 5; 8

Bước 2:

Xét các trường hợp sau:

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c=\text{{}3;6;9\}$ Có 3! số.

+) $a,b,c\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{1;4;7\right\}$=> Có 3! số.

+) $a,b,c\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{2;5;8\right\}$ ⇒ Có 3!số.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2  

$3!.C_3^1.C_3^1.C_3^1=162$ 

Vậy có 3.3!+162=180 số thỏa mãn đề bài.

Phương pháp giải:

Gọi x là độ dài của cạnh đáy của khối chóp

hh là chiều cao của khối chóp, h′ là chiều cao của tam giác cân ở mặt bên của khối chóp.

Bước 1: Biểu diễn h và thể tích V của khối chóp theo a và x

Bước 2: Tìm max của $f\left(x\right)=-2a{x}^5+a^2{x}^4$ với x>0

$V_{\max }\iff f{\left(x\right)}_{\max }$ 

Bước 3: Tìm phần diện tích bị bỏ

Giải chi tiết:

Gọi x là độ dài của cạnh đáy của khối chóp

h là chiều cao của khối chóp, h′ là chiều cao của tam giác cân ở mặt bên của khối chóp.

Bước 1: Biểu diễn h và thể tích V của khối chóp theo a và x

Ta có: $x+2h^{\text{'}}=a\Rightarrow h^{\text{'}}=\frac{a-x}{2}$

Ta có: $h^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2={\left(\frac{a-x}{2}\right)}^2\iff h=\sqrt{{\left(\frac{a-x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{a^2-2ax}}{2}$ 

Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{a^2-2ax}}{2}\cdot x^2=\frac{1}{6}\sqrt{-2a{x}^5+a^2{x}^4}$

Bước 2: Tìm max của $f\left(x\right)=-2a{x}^5+a^2{x}^4$ với x > 0.

Xét hàm số $f\left(x\right)=-2a{x}^5+a^2{x}^4$ với x > 0

$V_{\max }\iff f{\left(x\right)}_{\max }$

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-10a{x}^4+4a^2{x}^3,f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2a}{5}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \max f\left(x\right)=f\left(\frac{2a}{5}\right)=\frac{16a^6}{3125}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{2a}{5}$

Bước 3: Tìm phần diện tích bị bỏ $\Rightarrow S=x^2+4\cdot \frac{1}{2}.x.\frac{a-x}{2}=\frac{2a^2}{5}$

Vậy diện tích bị bỏ là $\frac{3a^2}{5}$.

Chọn B