Câu hỏi:

12/07/2024 3,298

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD = 60°. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm G của tam giác BCD, góc giữa SA và đáy bằng 60°

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học - ĐH Bách khoa năm 2023 - 2024 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AG.

Bước 2: Xác định góc giữa SA và đáy trên hình.

Bước 3: Tính SG

Bước 4: Tính thể tích S.ABCD.

Giải chi tiết:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD  60. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy (ảnh 1)

Bước 1: Tính AG.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

ABCD là hình thoi cạnh a nên $B C = C D = a, ∠ B A D = ∠ B C D = 60^{°}$ .

=> Tam giác $B C D$ là tam giác đều $\Rightarrow C G = \frac{2}{3} \cdot C O = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} B C = \frac{\sqrt{3}}{3} a$

\Rightarrow A G = 2 C G = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a

Bước 2: Xác định góc giữa SA và đáy trên hình.

Do SG vuông góc với (ABCD) nên góc giữa SA và đáy bằng góc giữa SA và hình chiếu của nó trên (ABCD) tức là góc giữa SA và $GA \Rightarrow ∠ S A G = 60^{°}$ .

Bước 3: Tính SG

Tam giác vuông SAG có $∠ S A G = 60^{°}$ nên $S G = A G \sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a . \sqrt{3} = 2 a$

Bước 4: Tính thể tích S.ABCD.

Ta có $A C = 3 C G = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} a = a \sqrt{3}$

Diện tích hình thoi ABCD là: $S = \frac{1}{2} . A C . B D = \frac{1}{2} . a \sqrt{3} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Thể tích S.ABCD: $V = \frac{1}{3} S G . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

b) Phương pháp giải:

Kẻ Bx song song với AC. Kẻ GH vuông góc với Bx, GK vuông góc với SH

Bước 1: Chứng minh GK⊥(SBH)

Bước 2: Chứng minh d(AC,SB)=GK

Bước 3: Tính GK

Giải chi tiết:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD  60. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy (ảnh 2)

Kẻ Bx song song với AC. Kẻ GH vuông góc với Bx, GK vuông góc với SH

Bước 1: Chứng minh $G K ⊥ (S B H)$

Ta có:

$\begin{array}{l} \{\begin{array}{l} G H ⊥ B H \\ B H ⊥ S G \end{array} \Rightarrow B H ⊥ (S G H) \Rightarrow B H ⊥ G K \\ \{\begin{array}{l} B H ⊥ G K \\ G K ⊥ S H \end{array} \Rightarrow G K ⊥ (S H B) \end{array}$

Bước 2: Chứng minh $d (A C, S B) = G K$

Ta có $BH / / AC \Rightarrow A C / / (S H B)$

Mà $S B \subset (S H B) \Rightarrow d (S B, A C) = d (A C, (S H B)) = d (G, (S H B)) = G K$

Bước 3: Tính GK

Dễ thấy tứ giác OBHG là hình chữ nhật $\Rightarrow H G = O B = \frac{a}{2}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SGH ta có:

$\frac{1}{G K^{2}} = \frac{1}{S G^{2}} + \frac{1}{G H^{2}} = \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{17}{4 a^{2}} \Rightarrow G K = \frac{2 \sqrt{17} a}{17}$

Vậy $d (S B, A C) = \frac{2 a \sqrt{17}}{17}$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S ABC có SA ^ ( ABC ), tam giác ABC vuông tại B , SA = BC = a , AC = 2 a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là

A. a

B. $\sqrt{2} a$

C. $a \sqrt{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Phương pháp giải:

Bước 1: Kẻ AH vuông góc với SB. Chứng minh AH⊥(SBC)

Bước 2: Tính AH

Giải chi tiết:

: Cho hình chóp S ABC có SA   ABC , tam giác ABC vuông tại B , SA = BC = a , AC  2 a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) (ảnh 1)

Bước 1: Kẻ AH vuông góc với SB. Chứng minh $A H = d (A, (S B C))$

Kẻ AH vuông góc với SB.

Ta có:

$\{\begin{cases} SA ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C \\ B C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) = > B C ⊥ A H$

Lại có $A H ⊥ S B = > A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H = d (A, (S B C))$

Bước 2: Tính AH

Xét tam giác vuông ABC có: $A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{3}$

Xét tam giác vuông SAB có: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} = > A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Chọn D

Câu 2

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 3.

A. 180

B. 162

C. 210

D. 30

Lời giải

Chọn A

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi số cần tìm là $\bar{a b c}$

Tách các bộ số chia hết cho 3, chia 3 dư 1 và chia 3 dư 2.

Bước 2: Xét các trường hợp bộ số chia hết cho 3

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a, b, c = {3; 6; 9}$

+) $a, b, c \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow a, b, c \in \{1; 4; 7\}$

+) $a, b, c \equiv 2 (\mod 3) \Rightarrow a, b, c \in \{2; 5; 8\}$ .

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Giải chi tiết:

Bước 1:

Gọi số cần tìm là $\bar{a b c}$

Từ các số bài cho ta chia thành 3 bộ số:

+ Bộ số chia hết cho 3 là: 3; 6; 9

+ Bộ số chia cho 3 dư 1 là: 1; 4; 7

+ Bộ số chia cho 3 dư 2 là: 2; 5; 8

Bước 2:

Xét các trường hợp sau:

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a, b, c = {3; 6; 9}$ Có 3! số.

+) $a, b, c \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow a, b, c \in \{1; 4; 7\}$ => Có 3! số.

+) $a, b, c \equiv 2 (\mod 3) \Rightarrow a, b, c \in \{2; 5; 8\}$ ⇒ Có 3!số.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2

$3! . C_{3}^{1} . C_{3}^{1} . C_{3}^{1} = 162$

Vậy có 3.3!+162=180 số thỏa mãn đề bài.

Câu 3

Cho một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng a. Người ta cắt 4 góc của tấm tôn để được một tấm tôn mới như hình vẽ.

Từ tấm tôn mới, người ta gặp được một hình chóp tứ giác đều. Để khối chóp thu được có thể tích lớn nhất thì diện tích các miếng tốn bỏ đi là

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{3 a^{2}}{5}$

C. $\frac{a^{2}}{\sqrt{5}}$

D. $\frac{2 a^{2}}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một lô hàng có 30 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 6 sản phẩm của lô hàng đó. Xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 2 phế phẩm là

A. $\frac{2530}{2639}$

B. $\frac{253}{263}$

C. $\frac{253}{280}$

D. $\frac{2535}{2737}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = a - 80 t (m / s)$ trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh và a là một hằng số dương. Biết rằng từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được 36m. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. aÎ(18,21)

B. aÎ(25,28)

C. aÎ(15,18)

D. aÎ(23,25)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình nón có bán kính đáy bẳng a. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều. Thể tich khối nón đã cho bằng

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $π a^{3} \sqrt{3}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp S ABC có SA ^ ( ABC ), tam giác ABC vuông tại B , SA = BC = a , AC = 2 a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 3.

Một lô hàng có 30 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 6 sản phẩm của lô hàng đó. Xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 2 phế phẩm là

Cho hình nón có bán kính đáy bẳng a. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều. Thể tich khối nón đã cho bằng

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu