Bạn An có một cốc hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm. Bạn dự định đựng một viên bị hình cầu sao cho toàn bộ viên bi nằm trong cốc (không phân nào của viên bị cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên bị có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Bước 1: Kẻ AH vuông góc với SB. Chứng minh AH⊥(SBC)

Bước 2: Tính AH

Giải chi tiết:

Bước 1: Kẻ AH vuông góc với SB. Chứng minh $AH=d\left(A,\left(SBC\right)\right)$ 

Kẻ AH vuông góc với SB.

Ta có:  

$\left\{\begin{array}{l}\text{SA}\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\ BC\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)=>BC\perp AH$ 

 Lại có $AH\perp SB=>AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A,\left(SBC\right)\right)$ 

Bước 2: Tính AH

Xét tam giác vuông ABC có: $AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=a\sqrt{3}$ 

Xét tam giác vuông SAB có:  $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}=>AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Chọn D

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ 

Tách các bộ số chia hết cho 3, chia 3 dư 1 và chia 3 dư 2.

Bước 2: Xét các trường hợp bộ số chia hết cho 3

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c=\text{{}3;6;9\}$

+) $a,b,c\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{1;4;7\right\}$ 

+) $a,b,c\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{2;5;8\right\}$.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Giải chi tiết:

Bước 1:

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

Từ các số bài cho ta chia thành 3 bộ số:

+ Bộ số chia hết cho 3 là: 3; 6; 9

+ Bộ số chia cho 3 dư 1 là: 1; 4; 7

+ Bộ số chia cho 3 dư 2 là: 2; 5; 8

Bước 2:

Xét các trường hợp sau:

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c=\text{{}3;6;9\}$ Có 3! số.

+) $a,b,c\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{1;4;7\right\}$=> Có 3! số.

+) $a,b,c\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{2;5;8\right\}$ ⇒ Có 3!số.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2  

$3!.C_3^1.C_3^1.C_3^1=162$ 

Vậy có 3.3!+162=180 số thỏa mãn đề bài.