Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây?

Đáp án A

Gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét.

Gắn hệ trục Oxy, vì OI=30 mét nên I(0;30).

Phương trình hai đường tròn lần lượt là $x^2+y^2={20}^2$  và $x^2+{\left(y-30\right)}^2={15}^2$ .

Gọi A, B là các giao điểm của hai đường tròn đó.

Tọa độ A, B là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2={20}^2\\ x^2+{\left(y-30\right)}^2={15}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm \frac{5\sqrt{455}}{12}\\ y=\frac{215}{12}\end{array}\right.$ .

Tổng diện tích hai đường tròn là $\pi \left({20}^2+{15}^2\right)=625\pi \left(m^2\right)$  .

Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=30-\sqrt{{15}^2-x^2}$  và $y=\sqrt{{20}^2-x^2}$  .

Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là $S=\underset{-\frac{5\sqrt{455}}{12}}{\overset{\frac{5\sqrt{455}}{12}}{\int }}\left(\sqrt{{20}^2-x^2}+\sqrt{{15}^2-x^2}-30\right)d\text{x}\approx \mathrm{60,2546}\left(m^2\right)$ .

Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là:$300\mathrm{000.60,2546}\approx 18076386$  (đồng).

Số tiền để làm phần còn lại là:  $100000.\left(625\pi -\mathrm{2.60,2546}\right)=184299220$(đồng).

Vậy tổng số tiền làm sân khấu là: $184299220+18076386\approx 202375606$  (đồng).