Cho phương trình $4^{-\left|x-m\right|}.{\log }_{\sqrt{2}}\left(x^2-2x+3\right)+2^{2x-x^2}.{\log }_{\frac{1}{2}}\left(2\left|x-m\right|+2\right)=0$  với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

$\begin{array}{l}{2}^{-2\left|x-m\right|+1}.{\log }_2\left(x^2-2x+3\right)-2^{2x-x^2}.{\log }_2\left(2\left|x-m\right|+2\right)=0\\ \iff 2^{-2\left|x-m\right|+1}.{\log }_2\left(x^2-2x+3\right)=2^{2x-x^2}.{\log }_2\left(2\left|x-m\right|+2\right)\\ \iff 2^{x^2-2x}.{\log }_2\left(x^2-2x+3\right)=2^{2\left|x-m\right|-1}.{\log }_2\left(2\left|x-m\right|+2\right)\end{array}$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)=2^{t-3}.{\log }_{2}t$ với $t\ge 2$ . Do $t\ge 2$ suy ra ${\log }_{2}t\ge 1$ 

Ta có: $f\text{'}\left(t\right)=2^{t-3}.\frac{1}{t.\ln 2}+2^{t-3}.\ln 2.lo{g}_{2}t>0$ với $t\ge 2$ 

Do đó hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\left[2;+\infty \right)$ 

$\begin{array}{l}\Rightarrow f\left(x^2-2x+3\right)=f\left(2\left|x-m\right|+2\right)\iff x^2-2x+3=2\left|x-m\right|+2\\ \iff \left|x-m\right|=\frac{x^2}{2}-x+\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{-x^2}{2}+2x-\frac{1}{2}\\ m=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\end{array}\right.\left(*\right)\end{array}$ 

Vẽ đồ thị các hàm số $y=\frac{-x^2}{2}+2x-\frac{1}{2}$ và $y=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Đồ thị hai hàm số tiếp xúc với nhau tại điểm (1;1). Điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$ là $\left(0;\frac{1}{2}\right)$, điểm cực trị của đồ thị hàm số$y=\frac{-x^2}{2}+2x-\frac{1}{2}$ là $\left(2;\frac{3}{2}\right)$ 

Dựa vào đồ thị, để (*) có ba nghiệm phân biệt thì $m\in \left\{\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}\right\}$ 

Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn là $\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}=3$ 

Chọn D