Hà và Trang mỗi bạn nghĩ về một số nguyên dương và thì thầm số đó vào tai của Thu. Thu nói rằng hiệu của hai số đó là 2013.

 - Hà nói rằng dựa vào dữ kiện đó, tôi không thể nói số của Trang là số nào.

 - Tiếp theo, Trang cũng nói tương tự.

 - Sau đó, Thu nói rằng bây giờ cậu có thể đoán được số của Trang, nhưng nếu cả hai đã nghĩ về một số lớn hơn số ban đầu 1 đơn vị thì cậu không thể đoán được số của Trang là bao nhiêu.

Hỏi hai số mà hai bạn Hà và Trang đã nghĩ về là số bao nhiêu?

Phương pháp giải:

- Giả sử số Hà nghĩ là a $\Rightarrow$ Số Trang nghĩ là b = a – 2013 hoặc b = a + 2013.

- Chứng minh $a>2013, b>2013$ .

- Dựa vào các dữ kiện chặn khoảng giá trị của a, từ đó suy ra được a và b.

Giải chi tiết:

Giả sử số Hà nghĩ là a $\Rightarrow$ Số Trang nghĩ là $b=a-2013$ hoặc $b=a+2013$.

Do dựa vào giả thiết trên Hà và Trang đều chưa đoán được số của bạn còn lại nên $a-2013>0\Rightarrow a>2013$.

CMTT ta cũng có $b>2013$.

Theo giả thiết “Nếu cả hai đã nghĩ về một số lớn hơn số ban đầu 1 đơn vị thì cậu không thể đoán được số của Trang là bao nhiêu” ta có:

Số của Hà nghĩ sau khi tăng đi 1 đơn vị là $a+1$.

Khi đó số Trang nghĩ là $b=a+1-2013=a-2012$ hoặc $b=a+1+2013=a+2014$.

Vì b > 2013 và trong trường hợp này Hà không đoán được số của Trang nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a-2012>2013\\ a+2014>2013\end{array}\iff a>4025 \left(1\right)\right.$

Giả sử A là số bé nhất Hà nghĩ mà khi đó, Hà không đoán được số của Trang. Khi đó số của A giảm đi 1 đơn vị thì Hà sẽ đoán được số của Trang.

Số của Trang lúc số A giảm đi 1 đơn vị là $b=A-1-2013=A-2014$ hoặc $b=A-1+2013=A+2012$.

Vì $b>2013$ và trong trường hợp này Hà đoán được số của Trang nên ta có:

$$\begin{gathered} A-2024<2013\Rightarrow A<4027\Rightarrow A\le 4026 \\ \Rightarrow a\le 4026 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4025<a\le 2016\Rightarrow a=4026$.

Khi đó b = 6039.

Vậy Hà đã nghĩ đến số 4026 và Trang đã nghĩ đến số 6039 hoặc ngược lại.