Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

MB2+ MC2=MA→2+MB→2+MC→2=MG→+GA→2+MG→+GB→2+MG→+GC→2=MG→2+2MG→.GA→+GA→2+MG→2+2MG→.GB→+GB→2+MG→2+2MG→.GC→+GC→2=3MG→2+2MG→.GA→+GB→+GC→+GA→2+GB→2+GC→2Ta có: GA→+GB→+GC→=0→select: (tính chất trọng tâm tam giác)⇒MG→.GA→+GB→+GC→=MG→.0→=0⇒MA2+ MB2+ MC2=3MG→2+GA→2+GB→2+GC→2. Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

Câu hỏi:

11/07/2024 11,961

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tích vô hướng của hai vecto có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

${MB}^{2} + {MC}^{2} = {\vec{MA}}^{2} + {\vec{MB}}^{2} + {\vec{MC}}^{2} = {(\vec{MG} + \vec{GA})}^{2} + {(\vec{MG} + \vec{GB})}^{2} + {(\vec{MG} + \vec{GC})}^{2} = {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GA} + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GB} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . \vec{GC} + {\vec{GC}}^{2} = 3 {\vec{MG}}^{2} + 2 \vec{MG} . (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{GC}}^{2} Ta có : \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} select : (tính chất trọng tâm tam giác) \Rightarrow \vec{MG} . (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = \vec{MG} . \vec{0} = 0 \Rightarrow {MA}^{2} + {MB}^{2} + {MC}^{2} = 3 {\vec{MG}}^{2} + {\vec{GA}}^{2} + {\vec{GB}}^{2} + {\vec{GC}}^{2} .$

Vậy MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Đang tải chế độ Học...

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\vec{A B} (6; 3) \Rightarrow A B = \sqrt{6^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5};$

$\vec{A C} (6; - 3) \Rightarrow A C = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{5};$

$\vec{B C} (0; - 6) \Rightarrow B C = \sqrt{0^{2} + {(- 6)}^{2}} = 6;$

Theo định lí cosin, ta có:

$cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{3}{5} \Rightarrow \hat{A} \approx 53, 13^{0};$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \hat{B} = \hat{C} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2} \approx 63, 44^{0}$ .

Vậy $A B = A C = 3 \sqrt{5}, B C = 6, \hat{A} = 53, 13^{0}, \hat{B} = \hat{C} = 63, 44^{0} .$

b) Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có: $\vec{A H} (x + 4; y - 1); \vec{B C} (0; - 6); \vec{B H} (x - 2; y - 4); \vec{A C} (6; - 3)$

Vì $A H ⊥ B C \Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \Leftrightarrow (x + 4) .0 + (y - 1) . (- 6) = 0 \Leftrightarrow y = 1.$

Vì $B H ⊥ A C \Rightarrow \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) .2 + (y - 4) . (- 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y = 0$

Mà y = 1 $\Rightarrow 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} .$

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} (- 3; 1), \vec{b} (2; 6);$

b) $\vec{a} (3; 1), \vec{b} (2; 4);$

c) $\vec{a} (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} (2; - \sqrt{2});$

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (- 3) .2 + 1.6 = 0 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{0} .$

b) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 3.2 + 1.4 = 10$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}, |\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$

$\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c os (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow c os (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{10} .2 \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{0} .$

c) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (- \sqrt{2}) .2 + 1. (- \sqrt{2}) = - 3 \sqrt{2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}, |\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{6}$

$\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c os (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow c os (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 3 \sqrt{2}}{\sqrt{3} . \sqrt{6}} = - 1 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 180^{0} .$

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t.

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90^{0} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0} .$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C}) .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Khi nào tích vô hướng của hai vecto khác vectơ không $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} (- 3; 1), \vec{b} (2; 6);$

b) $\vec{a} (3; 1), \vec{b} (2; 4);$

c) $\vec{a} (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} (2; - \sqrt{2});$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t.

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90^{0} .$

Cho tam giác ABC với A(-1;2), B(8;-1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = \vec{0}$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = \vec{0} .$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C}) .$

Khi nào tích vô hướng của hai vecto khác vectơ không $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?