Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ $A \in d_{1}$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $α$ . Gọi và lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho $\vec{v_{r}} = \vec{A M}, \vec{v_{n}} = \vec{M N} .$

Khi đó tàu chuyển động với vectơvận tốc thực tế là $\vec{v} = \vec{v_{r}} + \vec{v_{n}} = \vec{A M} + \vec{M N} = \vec{A N} .$

Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d₂. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là $\vec{A N}$ , do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d₂ là $\frac{A B}{A N} = \frac{A C}{A M}$ . Mặt khác, $A M = |\vec{v_{r}}|$ không đổi nên $\frac{A C}{A M}$ nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất $\Leftrightarrow A C ⊥ d_{2} \Leftrightarrow A M ⊥ d_{2} .$

Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

Câu 2/13

Với hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ cho trước, lấy một điểm A và vẽ các vecto $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b} .$ Lấy một điểm A’ khác A cũng vẽ các vecto $\vec{A' B'} = \vec{a}, \vec{B' C'} = \vec{b} .$ Hỏi hai vecto $\vec{A C}, \vec{A' C'}$ có mối quan hệ gì?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\vec{A B} = \vec{a}$

$\Rightarrow \vec{A B}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và độ dài $\vec{A B}$ bằng độ dài $\vec{a}$ .

Ta lại có: $\vec{A' B'} = \vec{a}$

$\Rightarrow \vec{A' B'}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và độ dài $\vec{A' B'}$ bằng độ dài $\vec{a}$ .

$\Rightarrow \vec{A B}$ cùng hướng với $\vec{A' B'}$ và độ dài $\vec{A B}$ bằng độ dài $\vec{A' B'}$ .

$\Rightarrow \vec{A B} = \vec{A' B'} \Leftrightarrow$ ABB’A’ là hình bình hành (1)

Ta có: $\vec{B C} = \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{B C}$ cùng hướng với $\vec{b}$ và độ dài $\vec{B C}$ bằng độ dài $\vec{b}$ .

Ta lại có:

$\Rightarrow \vec{B' C'}$ cùng hướng với $\vec{b}$ và độ dài $\vec{B' C'}$ bằng độ dài .

$\Rightarrow \vec{B C}$ cùng hướng với $\vec{B' C'}$ và độ dài $\vec{B C}$ bằng độ dài $\vec{B' C'}$ .

$\Rightarrow \vec{B C} = \vec{B' C'} \Leftrightarrow$ BB’C’C là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{C C'} = \vec{B B'}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{AA'} = \vec{C C'} \Leftrightarrow$ AA’C’C là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{A C} = \vec{A' C'}$

Vậy $\vec{A C} = \vec{A' C'}$ .

Câu 3/13

Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto $\vec{A B} + \vec{A D}$ và $\vec{A C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\vec{A D} = \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Vậy $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Câu 4/13

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và vectơ $\vec{b} + \vec{a}$ .

b) Trong Hình 4,14b, hãy chỉ ra vectơ $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ và vectơ $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ .

Xem đáp án

Lời giải

Trong Hình 4.14a:

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

$\vec{b} + \vec{a} = \vec{A D} + \vec{D C} = \vec{A C}$

$\Rightarrow \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Trong Hình 4.14b:

Ta có: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A D}$

$\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D}$

$\Rightarrow \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Câu 5/13

Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và $\hat{B A D} = 120^{0}$ . Tính độ dài của các vectơ $\vec{C B} + \vec{C D}, \vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ dài bằng 1 và góc BAD = 120 độ. Tính độ dài của các (ảnh 2)

+ Tứ giác ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành

Do đó $\vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C A}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{C B} + \vec{C D}| = |\vec{C A}| = C A$

Vì ABCD là hình thoi nên AB= BC và AC là tia phân giác $\hat{B A D}$ ( tính chất hình thoi)

$\Rightarrow \hat{B A C} = \hat{C A D} = \frac{\hat{B A D}}{2} = \frac{120^{0}}{2} = 60^{0}$

Xét ΔABC có AB = BC và $\hat{B A C} = 60^{0}$

⇒ ΔABC đều

⇒ AC = AB = BC = 1

Suy ra $|\vec{C B} + \vec{C D}| = 1.$

Ta có: $\vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A} = \vec{C D} + \vec{D B} + \vec{B A} = \vec{C B} + \vec{B A} = \vec{C A}$ (quy tắc ba điểm).

$\Rightarrow |\vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A}| = |\vec{C A}| = C A = 1$

Vậy độ dài của các vectơ $\vec{C B} + \vec{C D}$ và $\vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A}$ đều bằng 1.

Câu 6/13

Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vecto để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vecto này có mối quan hệ gì với nhau?

Xem đáp án

Lời giải

Nếu chỉ có hai lực tác dụng vào cùng một vật mà vật vẫn đứng yên thì hai lực đó là hai lực cân bằng.

Ví dụ: Hai đội kéo co cùng kéo sợi dây. Nếu hai đội mạnh ngang nhau thì họ sẽ tác dụng lên dây hai lực cân bằng. Sợi dây chịu tác dụng của hai lực cân bằng thì sẽ đứng yên.